miércoles, 28 de octubre de 2015

¿Por qué pi en el círculo?

Hay ciertos números que son muy importantes en las matemáticas: 0 y 1, por ejemplo, son dos enteros bastante populares por sus propiedades de no afectar la suma o el producto, pero también tienen una relación interesante en los exponentes. podríamos además hablar de e, el número de Euler -porque lo bautizó, no porque lo descubrió, porque así de importante era Euler-, la base del logaritmo natural, aproximadamente 2.71828, aparece en el interés compuesto, límite de funciones y sumas muy bonitas; podríamos también hablar de phi, la razón áurea, proporción divina, más o menos 1.6180339, el número ese con el que construyes caracoles y antiguos templos griegos. Sin embargo, el honor quizás se lo lleve pi, π, que aparece en casi cualquier lugar. 

¿Cuántos números tienen el honor de aparecer en el calendario? Bueno, sí, los naturales del 01 al 12 y del 01 al 31, pero π es el único al que le hacemos fiesta cada 14 de marzo (3-14 en la nomenclatura norteamericana). 


miércoles, 7 de octubre de 2015

Teorema de Pick e Inducción Matemática

Otra fórmula de área

Cuando hablamos de las fórmulas para el área de un triángulo, dejamos fuera una que es bastante bonita y que, además, funciona para cualquier polígono. Esta fórmula se llama Teorema de Pick y permite calcular el área de un triángulo -de cualquier polígono sin huecos, en realidad- nada más contando. La única condición es que tu figura se encuentre en una cuadrícula y que los vértices de tu figura coincidan con vértices de la cuadrícula. 


miércoles, 30 de septiembre de 2015

Teorema de la Pizza

Pizza Matemática

Muchas de las matemáticas que se hacen empiezan por sencilla curiosidad. La Matemática puede entenderse como un conjunto de reglas con las que uno juega a ver qué sale, por lo que es natural jugar con ellas a ver qué sale. Otra manera muy popular de hacer matemáticas es usarla para contestar preguntas y una de esas grandes preguntas que ha intrigado a la humanidad durante siglos es la siguiente: ¿cómo dividir la pizza de manera justa?



sábado, 26 de septiembre de 2015

Vandalismo matemático

Para empezar bien la semana

En esta media entrada te compartimos algunas imágenes y videos que muestran que hay algunos matemáticos muy rebeldes allá afuera. Básicamente, puedes ser un pandillero y también sentir especial aprecio por las matemáticas -o ser un matemático y sentir poco aprecio por las paredes del vecino. 



miércoles, 23 de septiembre de 2015

La cuadratura del círculo y el Teorema Fundamental del Cálculo

Wantzel, Liouville y los números trascendentes

La semana pasada hablamos muchísimo de reglas y compases y lo imposible que resulta resolver tres específicos y muy famosos problemas de la geometría griega usando nada más esas dos herramientas. El problema con la duplicación del cubo, por ejemplo, es que tendríamos que poder construir -usando regla y compás- la raíz cúbica de 2, cosa que es imposible -y por ahí va la demostración de Wantzel. 

No todos los números irracionales son inconstruibles (creo que estoy inventando palabras). Por ejemplo, raíz cuadrada de 2, aunque irracional, se puede construir de manera muy sencilla: construyes un cuadrado de lado 1, trazas su diagonal y ¡pum! construiste un irracional. 

papá...

miércoles, 16 de septiembre de 2015

Tres problemas clásicos y origami

Un tal Euclides

Las matemáticas en el sentido formal, como conjunto de reglas y elementos con las que se juega pa' ver qué sale, nacieron con los antiguos griegos. De manera mucho más específica, con Euclides y sus Elementos, que vendría a ser lo que el Nuevo Testamento al Cristianismo o el Don Quijote a nuestra lengua castellana. Hay varios detalles graciosos al respecto: Euclides -como muchos de los "griegos" antiguos- no era de lo que ahora es Grecia pues más bien vivía en Egipto, en Alejandría para ser más específicos; algunos otros, como Thales, vienen de lo que conocemos como "Asia menor" y, en su caso, Mileto que hoy día es Turquía.

Fuera del mapa: Alejandría

sábado, 12 de septiembre de 2015

Matemáticos insospechados

Esos viejos prejuicios

Existen muchos estereotipos alrededor de cómo es un matemático o -en general- cualquier persona a la que le gustan las matemáticas: ñoños y mataditos, personas que cargan la calculadora y plumas en el bolsillo de la camisa, gente que puede hacer operaciones aritméticas muy grandes a la velocidad de la luz, introvertidos e incapaces de desempeñarse en sociedad; básicamente un personaje de The Big Bang Theory y ni siquiera de los populares. También, por el otro lado, hay quienes insisten en que un matemático puede hacer lo que quiera: puede estudiar ingeniería y construir puentes, estudiar física e ir al espacio, estudiar computación y hacerte millonario inventando alguna app con cerditos y pájaros suicidas. 



miércoles, 2 de septiembre de 2015

Números primos y códigos secretos

Primos muy grandes

Inevitablemente todos tendremos estudiantes bostezando en clase, con ganas de hacer un chiste y perder clase o mostrando sincero interés, que nos harán la terrible pregunta de para qué sirven las matemáticas; sin dudarlo mucho, maestros y maestras del mundo acudimos a algunos ejemplos clásicos: sin las matemáticas no tendrías tu celular ni tu facebook, sin las matemáticas se te cae el puente, con matemáticas le ganas al casino y ganas millones, etcétera. Uno de los ejemplos más populares son los números primos y su uso en la criptografía, la base de nuestra comunicación en línea; hay quienes -me incluyo- incluso hablamos de cómo hay compañías que te compran números primos muy grandes en una millonada. 

miércoles, 26 de agosto de 2015

Prisioneros y sus dilemas

Juntados y desjuntados

Aunque ya compartimos una entrada sobre Teoría de Juegos --sobre un par de cosas que más o menos aprendí en clase de Paco Sánchez, en el CIMAT--, no hemos hecho realmente una introducción decente, hablado de su historia, de los problemas que resuelve, de su relevancia. Lo que quizás la mayoría de las personas sepan de la Teoría de Juegos se refiere a lo que recuerdan de Una Mente Brillante, película de 2001 dirigida por Ron Howard y protagonizada por Russell Crowe. La película está basada en la vida de John Forbes Nash Jr., uno de los fundadores de la Teoría de Juegos, quien hizo aportaciones fundamentales. (Tristemente, Nash y su esposa fallecieron en un accidente de tránsito este mismo año.)



jueves, 20 de agosto de 2015

Paseos eulerianos y grafos caseros

Una ciudad llamada Königsberg

Una de las anécdotas y temas clásicos en la divulgación de matemática es la famosa ciudad de Königsberg, en la antigua Prusia, y sus siete puentes. La ciudad es ahora --y desde finales de la Segunda Guerra Mundial-- conocida como Kaliningrado y pertenece a Rusia --convirtiendo, además, al país ex soviético en una mancha no conexa--. Prusia llegó a ser un fuerte imperio y Königsberg una capital científica y cultural del mundo europeo a mediados del siglo XVIII que atraía grandes mentes de entonces, con renombrados científicos como miembros de su Academia Prusiana de las Ciencias (también conocida como Academia de Berlín).



domingo, 31 de mayo de 2015

Teoría de juegos con Paco Sánchez

En el ya lejano 2012 tuve oportunidad de tomar un curso de Teoría de Juegos con el Dr. Francisco Sánchez en CIMAT. Disfruté ese curso como pocos y creo haber aprendido mucho, aunque mis exámenes no hayan dicho lo mismo de mí. Por lo mismo, espero que la calidad de estos documentos no se entienda como un reflejo de la calidad del curso, de nuevo, excepcional. 

Estos dos artículos los escribí entonces, en marzo y mayo del 2012. El primero de ellos apareció en el número 3 de la revista factorial! y el segundo -que es una especie de continuación- estaba pensado para un número posterior pero nunca fue publicado. 

A diferencia de las entradas anteriores, esta vez compartimos los artículos como una liga para leer en el explorador porque es muy complicado escribir matemáticas en Blogger -pero estamos aprendiendo. 





jueves, 28 de mayo de 2015

Fórmulas para el área de un triángulo II

Prometimos un video para platicar las fórmulas para calcular el área de un triángulo y aquí lo tenemos. Dura un poco más que leer la entrada pero incluye esbozo de las demostraciones de algunas de las fórmulas -no de todas-. 




Tendremos una nueva entrada pronto. 


jueves, 21 de mayo de 2015

Fórmulas de área de un triángulo

¿Cuántas maneras conoces para calcular el área de un triángulo? ¿Dos, tres? Si nada más te sabes una y tus amigos se burlan de ti por eso, esta entrada es para ti (además, necesitas nuevos amigos). Te presentamos seis fórmulas para el área de un triángulo; si te sabes una distinta de éstas, por favor compártela con nosotros.

1. Base por altura (sobre dos)

Esta fórmula nos la enseñan en la primaria y es, para muchos, la única forma que tienen para calcular el área de un triángulo. El razonamiento es bastante sencillo: cuando nos dan un triángulo cualquiera, podemos hacer una copia de él, girarlo y crear un paralelogramo. Si no estamos convencidos, podemos convertir ese paralelogramo en un rectángulo y ¡pum! base por altura. Como esa es el área de dos triángulos idénticos, el área de nuestro triángulo será la mitad.


(Para convencernos que el área de un rectángulo es base por altura, podemos dividir en cuadritos unitarios y contarlos. Creo que lo del cuadrito unitario no lo podría explicar más, aunque quisiera.)

Es importante destacar -porque hay a quienes se les olvida- que en el caso particular de un triángulo rectángulo, siempre podemos usar un cateto como la altura y el otro como la base. Además, que la altura la puedes trazar sobre cualquiera de los lados y no solo sobre el lado en el que se "acuesta" tu triángulo. 

2. Herón

Para los y las participantes de Olimpiada, la segunda fórmula que se suelen aprender es la de Herón. Para usar esta fórmula, necesitamos conocer la medida de los lados que llamamos a, b, c. Calculamos el área como


donde s es el semiperímetro, es decir, la mitad del perímetro,


La demostración original de Herón utiliza cuadriláteros cíclicos, pero no la conocemos. Existen pruebas muy sencillas con trigonometría y hasta con Teorema de Pitágoras. Acá hay unas pruebas particularmente hermosas, en inglés y con determinantes

3. ab sen(C)

La fórmula de Herón depende de la longitud de los tres lados, que es un criterio de congruencia (LLL). Otro criterio es dos lados y el ángulo entre ellos (LAL) y esta fórmula es cuando conoces esos datos. 

Esta fórmula es fácil de derivar conociendo las definiciones elementales de trigonometría. En particular, sabiendo que el seno de un ángulo -en un triángulo rectángulo- es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa. Puede que nuestro triángulo ABC no siempre sea rectángulo pero eso se arregla trazando la altura que va a alguno de los lados que conocemos:


Desde el ángulo que conocemos, podemos expresar su seno como h/b, donde h es la longitud de la altura que acabamos de trazar. Despejando h de la expresión sin(C) = h/b, obtenemos h = b sin(C). Obtenemos la fórmula inmediatamente. 

4. abc sobre 4 veces el circunradio 

Esta fórmula se deriva directamente de la anterior y del Teorema del Seno, que dice


donde a, b, c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A, B, C, respectivamente, en los vértices del triángulo ABC. Además, R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la que pasa por los tres vértices. 

En la fórmula anterior (3), usábamos sin (C). Con el Teorema del Seno, tenemos que c / sin (C) = 2R. Podemos despejar sin (C) = c 2R. Sustituyendo en la fórmula anterior, nos queda


que es nuestra cuarta fórmula. 

5. semiperímetro por inradio

El inradio es el radio de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, la que es tangente a los tres lados por adentro del triángulo. Existen otras tres circunferencias, llamadas excírculos, que son tangentes a los tres lados del triángulo, pero por afuera. 

Es sencillo ver de dónde viene esta fórmula: une el incentro con los vértices. Obtienes tres triángulos cuya base es uno de los lados y cuya altura es... ¡el inradio! 


Usando repetidamente la fórmula de base por altura y sacando factor común obtenemos lo que queremos:


Existen varias fórmulas en función de los exradios, que no vimos aquí pero puedes consultar en esta liga. Si no te imaginas los excírculos, tenemos esta imagen para ti:





6. las medianas

Si eres olimpiquito, estamos seguros que las cinco fórmulas anteriores no te sorprenden. Sin embargo, estamos casi seguros que ésta sí: es posible calcular el área de un triángulo si conoces la longitud de las medianas. ¿Cómo? Bueno, no sabemos si lo sepas pero es posible formar un triángulo cuyos lados midan lo mismo que las tres medianas de un triángulo dado. Por si fuera poco, el área de ese triángulo es 3/4 del área del triángulo original.

Esta imagen puede servir como una prueba gráfica:



Ahora que sabes eso, el resto es sencillo: usa Herón. Es decir, si u, v, w son las longitudes de las medianas del triángulo, podemos calcular su área como


donde s es el semiperímetro como siempre (solo que en este caso es la mitad de u+v+w). 

(Extra: 7. Las Agujetas de Gauss

Este algoritmo funciona para cualquier polígono en un plano coordenado. Cuando trabajas en Olimpiada, no es tan complicado meterle coordenadas a tus triángulos: siempre puedes poner el lado más largo sobre el eje x y el tercer vértice sobre el eje y; eso te deja tres ceros en tus coordenadas y tres incógnitas. 

Vamos a explicar cómo va este algoritmo. Digamos que quieres calcular el área del triángulo que tiene vértices en (2, 4), (3, -8), (1, 2). Lo que tienes que hacer es lo siguiente: escribe las coordenadas en una lista -en una matriz, en realidad- poniendo las coordenadas x en una columna, las y en otra columna y repitiendo la última coordenada. Queda algo así:


Lo que haces ahora es dibujar cada una de las diagonales hacia la derecha, multiplicar los números en cada diagonal y luego sumarlos.
En este caso, obtenemos 2x(-8) + 3x2 + 1x4 = -16 + 6 + 4 = -6. 

Haces lo mismo con las diagonales hacia la izquierda. 
En este caso, obtenemos 4x3 + (-8)x1 + 2x2 = 12 - 8 + 4 = 8.

El área del triángulo es la mitad de la diferencia en valor absoluto. Es decir la mitad de |(-6) - 8| = 14. O sea que el área del triángulo es 7.)


Estamos preparando un video para platicar todas estas fórmulas. ¿Conoces alguna otra?



domingo, 3 de mayo de 2015

Las matemáticas de Futurama

Hace poco apareció un artículo en El País sobre los 10 momentos más matemáticos de Los Simpsons y ha circulado mucho en redes sociales e internet. Soy un enorme admirador de Los Simpsons y me encanta que la gente esté empezando a quererla por una razón más: su humor ñoño. Uno de los momentos en la lista -los monos en las máquinas de escribir- fue la excusa para un pequeño artículo que me publicaron en Tzaloa. Sin embargo, me parece que su contraparte de mil años después, Futurama, es mucho más matemática que la familia amarilla. Tiene algo de sentido: el profesor es un profesor, después de todo, Amy es una estudiante de doctorado y los aparatos tecnológicos del futuro requieren alguna explicación más o menos científica. Futurama ha sido llamada la serie más geek de la televisión -incluso si Big Bang Theory pudiera ser más geek, uno espera matemáticas en TBBT pero es sorprendente encontrarlas acá. 

Así, como admirador de Los Simpsons, de Futurama y de las matemáticas, estoy encantado de poder compartirles estos chistes matemáticos escondidos a simple vista. 


Matemáticos comediantes

Primero, como menciona El País y como muchos saben, tiene muchísimo sentido que ambas series tengan tantas matemáticas. Algunas de las personas más involucradas en la serie tienen títulos de ciencia y matemática: David X. Cohen, escritor por muchos años de Los Simpsons, fue uno de los creadores de Futurama, más tarde escritor en jefe y productor ejecutivo, estudió Física en Harvard y tiene una maestría en Ciencias de la Computación de UC Berkeley; Al Jean, escritor y productor ejecutivo de Los Simpsons desde los inicios de la serie, fue también creador de la serie El Crítico, estudió Matemáticas en Harvard; Jeff Westbrook, escritor de Los Simpsons desde 2004 y recurrente en Futurama también, estudió Matemáticas, Psicología e Historia de la Ciencia en Harvard, para más tarde conseguir su doctorado en Ciencias de la Computación en Princeton; Ken Keeler ha escrito numerosos episodios de Los Simpsons, es uno de los escritores más prolíficos de Futurama escribiendo algunos de sus episodios más populares, además de haber escrito algunas de las canciones originales de ambas series, estudió Matemáticas en Harvard, se graduó con honores, obtuvo su doctorado y tiene un número de Erdös de 4, que es bastante elevado. 

Esa tiene que ser una de las mesas de escritura más ñoñas de la televisión. El equipo de escritores de Futurama incluía al menos cuatro personas con doctorados: matemáticas, física, química y computación. Futurama es tan ñoña que en uno de los episodios de la nueva temporada de los Simpsons, Simpsorama, donde hay un cross-over entre Los Simpsons y Futurama, el ambiente inmediatamente se vuelve diez veces más ñoño:


Cuando el profesor Frink (Brinco, en español) abre el disco duro de Bender se encuentra cinco ecuaciones, ¿las reconoces? Una de ellas es un teorema muy usado en la Olimpiada, dos de ellas te harán ganar un millón de dólares cada una si logras resolverlas, mientras que las otras dos son sencillamente hermosas. 

El artículo de El País menciona el nombre del cine en Springfield, el Googolplex, haciendo notar que un googol es el número más grande "con nombre". Bueno, el cine en Nueva Nueva York tiene un número un poco más grande 


aunque, en realidad, aleph sub cero no es un número sino un cardinal. Es el tamaño del conjunto de los naturales o de los enteros -que es el mismo. 

En un episodio más, Bender se asusta cuando aparece el número 1010011010 escrito con sangre en un espejo. ¿Por qué?


Se trata del número 666 escrito en base dos. En uno de los episodios de la primera temporada, Bender tiene una pesadilla cuando sueña con un 2 que se mezcla entre los 0s y 1s de su código binario. Hay varios más que son los favoritos de muchos: la ruta 66 (juego de palabras con las homófonas "root" y "route"), las matemáticas discretas y discretas (en inglés son dos palabras distintas), o el Studio 57, y una bastante más escondida pero igual de deliciosa: el archivo P y el archivo NP del profesor. 

¿Vamos bien? Apenas estamos comenzando. Vamos a usar Futurama como una excusa para hablar de algo de matemáticas, sobre todo curiosidades que nos permitan explicar algunos chistes; si quieres, puedes seguir las ligas para aprender algo nuevo cada día. 

Möbious Dick y Möbius speedway

Hablaremos de dos episodios que juegan con la topología y, específicamente, con la banda de Möbius. El primero de ellos, el episodio Möbious Dick es un juego de palabras sobre Moby Dick, la famosa novela de Herman Melville, y la banda de Moebius (Möbious en idioma original, también lo encuentras como Möbius). Por supuesto, como con mucho de lo que hablaremos, conviene que hayas visto el episodio alguna vez. 

En el episodio, la tripulación se encuentra con una ballena de la cuarta dimensión que entra a nuestra dimensión a llenar sus pulmones de vacío. Logran darle con un arpón y la tripulación experimenta la cuarta dimensión, que se ve más o menos así:


Además, la ballena tiene tripas en forma de banda de Möbius que, por alguna razón científica, hace que las personas que se han comido no envejezcan. Sin duda, el humor multi y transdimensional se aprecia mejor con los conocimientos de un curso básico de topología. Y hablando de estructuras topológicas, el segundo episodio en esta lista es 2-D Blacktop, un episodio donde el Profesor muestra su amor por la velocidad, pero Leela prefiere la seguridad. Así, juegan una carrera en la pista llamada Möbius Drag Strip, la pista de arrancones de Möbius:


una pista donde ganará el primero en darle "una vuelta alrededor de los dos mismos lados de la pista". De esta manera, los escritores enseñaron espontáneamente la característica más relevante de la famosa banda de Möbius: tiene un único lado, es decir, "derecho" y "revés" son el mismo lado en la banda. Cuando las naves de Farnsworth y Leela chocan de frente -con Fry en medio y Bender adentro- y son enviados a la segunda dimensión, donde el Profesor nos da una nueva lección de topología:


en la segunda dimensión, los seres no pueden comer porque no pueden tener un sistema digestivo pues semejante aparato anatómico los dividiría en dos pedazos separados. 

La copiadora Banach-Tarski

En el capítulo Benderama, el Profesor construye un nuevo invento que llama "Banach-Tarsky Dupla-Shrinker", una máquina que crea dos copias a 60% escala del original agregando un poco de materia, cualquier materia. La máquina se aprovecha de la paradoja de Banach-Tarsky, que propone básicamente que es posible partir una esfera en pedacitos y luego volver a pegarlos para formar dos esferas idénticas a la original. Los "pedazos" en la paradoja son bastante especiales y se puede con tan pocos pedazos como cinco.


Para entender la matemática -y si ésta se emplea bien en el episodio- te propongo un par de lecturas adicionales, si te interesa. En el episodio, el Profesor utiliza la máquina para crear dos copias de su suéter y le pide a Bender que los doble. Bender se rehúsa y, como alternativa, él mismo hace dos copias para que cada uno doble uno de los suéteres. Bender sigue creando copias de sí mismo y emerge un enorme problema


la serie de la masa de los Benders es no-convergente. (Todos parecen darse cuenta de esto excepto Fry, por supuesto.) Esto quiere decir que los Benders eventualmente se acabarían toda la materia de la Tierra creando copias sucesivas de sí mismos. 

Números Taxi y el 1729

El número 1729 aparece repetidas veces en Futurama. Por ejemplo, es el número de placa del Nimbus, la nave-estación de guerra de la Tierra comandada por el teniente Zapp Branigan


Es, además, el número de hijo que es Bender


y es uno de los universos que visita Fry en el episodio "Farnsworth Parabox", donde cada universo está encerrado en una caja


¿Y qué es lo que tiene de interesante este número? Bueno, depende de a quién le preguntes. Según el matemático G. H. Hardy, el número no tiene nada de interesante. Una vez visitando a su amigo Srinivasa Ramanujan en la India, quien estaba enfermo, Hardey le comentó que llegó en un taxi con el número 1729 y que le pareció tan exageradamente ridículo que temía fuera una mala señal. Ramanujan le comentó que todo lo contrario, que 1729 era el menor entero que puede expresarse como suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Esto es, 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3. 

Este número, 1729, se conoce ahora como el número de Hardy-Ramanujan y es el segundo de los taxicab numbers -números de taxi- en honor a esta anécdota matemática. Se conoce con T(n) al n-ésimo número de taxi, el menor entero que puede expresarse como suma de dos cubos positivos de n maneras distintas. Tenemos que T(1) = 2, T(2) = 1729 y T(3) = 87'539,319. Este número también aparece en Futurama, en un taxi, por supuesto:


En Bender's Big Score -la primera de las películas que salieron directo a DVD luego de la primera cancelación de Futurama- Fry se sube a un taxi cuyo número es, por supuesto, 87539319. 

El prisionero de Benda

En las secciones antes que esta, hablamos de cómo un teorema o un concepto matemático servía para crear un chiste recurrente y, a veces, ayudar con la trama de un capítulo. Esto no es distinto de tomar inspiración de cualquier otro elemento de la cultura popular, si acaso más ñoño. En El Prisionero de Benda, por otro lado, es radicalmente distinto: las matemáticas llegan a salvar un posible hueco en la trama de un capítulo. 

En el episodio, el profesor crea una máquina que permite que dos cuerpos cambien de mente. En cuanto lo empiezan a usar, descubren que no es posible que los mismos dos cuerpos vuelvan a intercambiar de mente, para regresar las cosas como estaban. Conforme avanza el episodio, más y más personajes han cambiado de mente mientras el Profesor se pregunta cómo regresarlos. Esto pudo haberse resuelto de varias maneras: como un hueco de trama, donde las cosas simplemente suceden -como la manera en que Batman escapa de prisión y llega a Gótica en un mismo día- o aprovechándose del Snap Back, un tropo común en televisión mediante el cual las cosas vuelven a ser como siempre cuando empieza el siguiente episodio. 

No, los escritores -específicamente Ken Keeler- se pusieron a proponer y demostrar un teorema que les permita volver: demostró que cualquier permutación no-reversible puede volver al estado inicial con la ayuda de dos nuevos elementos. Y la demostración la pusieron ahí, en televisión:


El Teorema, llamado Teorema de Keeler o Teorema de Futurama, no es un resultado exageradamente complicado; es un teorema en el sentido en que lo es cualquier resultado matemático, y por eso Ken Keeler siempre ha sentido algo de pena toda la atención que atrajo. Sin embargo, es probablemente el único resultado matemático que ha sido creado específicamente para trabajar en la trama de una serie de televisión. 

Hay muchos lugares en internet donde puedes leer más sobre el romance que Los Simpsons y Futurama sostienen con las matemáticas. Te recomiendo esta entrevista que Wired le hizo a David X. Cohen y Simon Singh, el autor del libro Los Simpsons y sus secretos matemáticos. Si faltaba algo más a tu lista de para qué sirven las matemáticas, sirven para entender los chistes de Los Simpsons y de Futurama. 





sábado, 18 de abril de 2015

Los camiones de Guanajuato

En Guanajuato (y seguramente en muchas otras ciudades) es común que estudiantes y otras personas se pongan a sumar los dígitos de su boleto en el camión urbano en búsqueda de un 21. Cuenta la leyenda que cualquier boletito que sume 21 (que se conocen simplemente como "veintiunos") puede ser cambiado por un beso con la persona de tu preferencia. Para ser honestos, en los ocho años que viví en Guanajuato nunca vi que esto funcionara en realidad, pero es sabiduría que se pasa de generación en generación. 

Naturalmente, surge la pregunta: ¿cuántos veintiunos hay? 

Los boletos de camión tienen un folio de 6 o 7 dígitos (algunos más o menos, no es realmente importante). Vamos a calcular cuántos hay con 6 dígitos. La diferencia entre un folio de 6 dígitos y un número de 6 dígitos es que el folio sí puede empezar con 0; por ejemplo, 001239 es un folio válido de 6 dígitos pero no es un número válido de seis dígitos. 

Para resolverlo, vamos a usar dos herramientas muy bonitas: separadores y el principio de Inclusión/Exclusión. Hemos preparado videos explicando ambas herramientas; si no estás seguro de cómo se usan esas herramientas, para que puedas entender lo que vamos a hacer, es buena idea que les des una repasada a los videos. 


Separadores es la herramienta que vendría a la mente de casi cualquiera cuando intenta resolver un problema similar: separadores nos ayuda a repartir objetos indistinguibles en categorías distinguibles u ordenadas; es decir, podríamos repartir 50 pelotas en 10 cajas donde todas las pelotas son iguales y, aunque las cajas también son iguales, las podemos reconocer diciendo que alguna es "la primera caja", "la segunda caja", etcétera. 

El problema es que separadores reparte sin condiciones y en algunos casos -como en éste- los problemas tienen condiciones explícitas. Un tipo sencillo de condición que podemos resolver sin mucho problema es una del tipo "la caja X tiene al menos Y pelotas". Por ejemplo: si quisiéramos repartir las 50 pelotas en 10 cajas y queremos asegurar que todas las cajas tienen al menos 3 pelotas, lo que haríamos -incluso de manera intuitiva en una repartición real- sería darle a cada caja 3 pelotas y luego ver cómo le hacemos para repartir las demás; es decir 30 de las pelotas ya están repartidas y nuestro problema se traduce ahora en repartir 20 pelotas en 10 cajas, que se resuelve fácil usando separadores. 

Nuestro problema de los boletos se traduce en un problema de repartir 21 unos, es decir, 21 unidades, en seis posiciones. Podemos entender que queremos repartir 21 pelotas en 6 cajas. Una manera de hacerlo sería:

1 1 / 1 1 1 1 1 / / 1 1 1 1 1 1 1 / 1 1 1 / 1 1 1 1

que se traduce en el número 250734. Como estamos repartiendo 21 pelotas, nos aseguramos que la cantidad total de pelotas, es decir, la suma de los dígitos del número, sea siempre 21. Lo que no podemos asegurar es que en cada caja haya menos de 10 pelotas, lo que nos generaría folios inválidos.

Así, la manera de salir de este apuro sería hacer muchísimos casos: cuando hay un nueve, cuando hay dos nueves, cuando hay un ocho, cuando hay un nueve y un ocho, cuando hay un siete...


Incluso sabiendo que la mezcla entre separadores y el principio de Inclusión/Exclusión son los que ayudan a resolver este problema, quizás no sea inmediato la manera de hacerlo. Hay que agregar a la mezcla una idea adicional: la de contar por complemento. 

Mencionamos que es sencillo contar, usando separadores, condiciones del tipo "la caja X tiene al menos Y pelotas". En este problema, no tenemos realmente una condición para cota inferior, pues nuestras cajas -los dígitos- pueden estar vacías -ser cero-. Las condiciones que tenemos ahora, y la que más nos preocupa, es asegurar que sean dígitos, es decir, que ninguna caja tenga más de 10 pelotas.

Aquí es donde entra la idea de contar por complemento es la siguiente: cuando tenemos más de una condición, contar todos los que números que cumplen la primera condición y restar los números que cumplen la primera pero no cumplen la segunda. Esta resta nos deja únicamente con los números que cumplen ambas condiciones.

Por ejemplo: ¿cuántos números de 5 cifras tienen al menos un dígito par?

Contar de manera directa nos arroja muchos casos: cuando hay un dígito par, cuando hay dos, cuando hay tres, cuando hay cuatro y cuando hay cinco. Sin embargo, es mucho más sencillo saber cuántos números de 5 cifras hay y a éstos restarle la cantidad de números que no tienen dígitos pares, es decir, cuyos dígitos son todos impares, que es algo mucho más sencillo de contar.

Naturalmente, la idea de contar por complemento se usa cuando contar "directo" parece tarea más complicada. Esta es la idea que vamos a usar: vamos a convertir las condiciones de "la caja X tiene a lo más Y pelotas" en condiciones de la forma "la caja X tiene al menos Y+1 pelotas", que no cumplen la condición, y luego simplemente restarlas. 

Hemos preparado otro video para explicar todo lo que aquí hemos dicho: 


Por supuesto, la idea no es que esta herramienta se quede en maneras de contar boletos de camión con cierta propiedad romántica, sino que la puedas utilizar para resolver muchos problemas. 

Te proponemos uno: imagina que tienes los 7 libros de Harry Potter y los deseas ordenar en tu librero. Sabemos que esto se puede hacer de 7! = 5040 maneras distintas. ¿En cuántas de estas maneras están todos los libros en desorden? Con desorden queremos decir que el libro 1 no está primero, el libro 2 no está segundo, etcétera. 





miércoles, 18 de febrero de 2015

Cuidado con las definiciones



Algunas de las definiciones que nos dan en la escuela (o que aparecen en los diccionarios) son innecesariamente complicadas, cuando no ambiguas o incorrectas. Por ejemplo, es común que nos definan que los números primos sean aquellos que son "divisibles nada más entre sí mismos y el 1". El problema con esa definición es que el 1 la cumple y, si el 1 es primo, hay muchas cosas que no funcionan como queremos. La definición usual de los números primos es "números que tienen exactamente 2 divisores positivos". Esta sí que no la cumple el 1, que tiene únicamente un divisor positivo. 

Algo parecido pasa con las figuras geométricas. Es común que nos digan que el rombo es "una figura de cuatro lados iguales con dos ángulos agudos y dos obtusos". Una definición así está hecha deliberadamente para dejar fuera al cuadrado. Hay definiciones todavía más complicadas: "una figura de cuatro lados iguales, dos pares de ángulos iguales y diagonales perpendiculares". Esta es otra tendencia con las definiciones: enumerar propiedades dentro las definiciones. Esas propiedades no son parte de la definición, se demuestran a partir de éstas. 

Con el rectángulo, la definición suele ser "paralelogramo con cuatro ángulos rectos y dos pares de lados iguales pero distintos entre sí". Eso último está pensado para dejar fuera al pobre cuadrado. 

Así, lo que le pedimos a una buena definición es que sea sencilla y que sea útil. Las propiedades deben poder demostrarse a partir de la definición -y otros teoremas y axiomas-. Podemos definir rombo y rectángulo de la manera más simple así:
  • Rombo: cuadrilátero de cuatro lados iguales.
  • Rectángulo: cuadrilátero de cuatro ángulos iguales.
A partir de cosas que podemos demostrar para isósceles, resulta que las diagonales de un rombo son perpendiculares. Haciendo una sencilla suma y división, resulta que los ángulos del rectángulo deben medir 90º cada uno. ¿Lo más bonito de todo esto? Podemos definir el cuadrado como:
  • Cuadrado: un rectángulo que es rombo
y, si no les gusta esa definición, proponemos una definición alternativa:
  • Cuadrado: un rombo que es rectángulo