Tres problemas clásicos y origami

Un tal Euclides

Las matemáticas en el sentido formal, como conjunto de reglas y elementos con las que se juega pa' ver qué sale, nacieron con los antiguos griegos. De manera mucho más específica, con Euclides y sus Elementos, que vendría a ser lo que el Nuevo Testamento al Cristianismo o el Don Quijote a nuestra lengua castellana. Hay varios detalles graciosos al respecto: Euclides -como muchos de los "griegos" antiguos- no era de lo que ahora es Grecia pues más bien vivía en Egipto, en Alejandría para ser más específicos; algunos otros, como Thales, vienen de lo que conocemos como "Asia menor" y, en su caso, Mileto que hoy día es Turquía.

Fuera del mapa: Alejandría

Segundo: las versiones actuales de Euclides -que ha tenido más de mil ediciones, según Wikipedia- como casi todas las publicaciones de la época, nos llegaron a través de traducciones del árabe, pues prácticamente todos los originales se perdieron en las guerras y los incendios de bibliotecas. 

y por muchos años se leyó en latín

Como casi toda la matemática de la época, el libro habla de Geometría. No que no se hiciera álgebra o teoría de números entonces, es que todo se entendía como mediciones, áreas, figuras. Es seguro que los Elementos no son un trabajo inédito de pies a cabeza; el invaluable trabajo de Euclides consiste en recopilar y formalizar todo el conocimiento matemático de la época. Ya acá encontramos demostraciones del Teorema de Pitágoras, proporciones entre paralelas, etcétera. 

Euclides propone 5 nociones comunes o axiomas, verdades evidentes que no requieren demostración. Parte de 23 definiciones fundamentales y sigue con 5 postulados. El postulado es similar a un axioma en el sentido de que queda sin demostrar, pero difiere en que no se trata de una verdad auto evidente; es sencillamente que no hay otras reglas con qué demostrarlo. Los Elementos de Euclides son libros fundamentales para cualquier matemático profesional o amateur, por lo que haremos una gigantesca introducción a nuestro tema para hablar un poco sobre ellos. 

Los 5 axiomas de Euclides son:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte. 

Los primeros cuatro axiomas básicamente definen propiedades de la igualdad. Además, como puedes, muchas de las matemáticas que hacía Euclides -y que se hicieron hasta hace unos pocos siglos- eran más palabras que símbolos, pues nuestra notación actual es relativamente nueva. No vamos a escribir las 23 definiciones pero vale la pena que conozcas algunas, para que te des una idea:

1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. La línea es una longitud sin anchura.
3. (4) Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
4. (7) Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto a las líneas que están en ella.
5. (15) Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea tal que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Si crees que está dicho de maneras muy extrañas, intenta definirlo tú. ¿Cómo defines un punto?. Finalmente, el verdadero lugar de debate son los 5 postulados, en particular el último. 

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera.
2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 
5. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. 

Este último se puede escribir, de manera mucho más sencilla, como "Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela". Negar este último postulado nos puede dar otro tipo de geometrías, por ejemplo Geometría Proyectiva; además, no en todas las geometrías se cumplen los postulados de Euclides, por ejemplo en la Geometría Esférica. Así, los axiomas, definiciones y postulados de Euclides definen la gometría que conocemos como Geometría Euclidea o Euclideana. Por último, ten en mente que estas matemáticas se hacían casi por completo usando únicamente regla y compás,

que, además, no son la regla y compás como las tuyas. La regla no está graduada -sirve para trazar rectas y ángulos rectos, pero no para medir distancias- y el compás no tiene memoria -sirve para trazar círculos y duplicar distancias-. Es decir, básicamente tu credencial de la escuela y un hilo con un lápiz amarrado en un extremo, igual que tú en tus exámenes. 

Así, resolver los problemas de los primeros libros de Euclides usando regla y compás es un pasatiempo y reto para cualquier estudiante de matemáticas. Todavía hoy, problemas de construcciones usando únicamente regla y compás son más que entretenidos. Lo era en la Grecia antigua y por eso hay cierto valor especial en los problemas que sí se pueden y los que no se pueden usando nada más regla y compás. En la escuela, trabajamos algunas construcciones en la secundaria: bisectrices, mediatrices, perpendiculares, polígonos regulares, etcétera. 

Drinking game: un shot cada que leas "Regla y Compás" (imagen: spikedmath)

Tres problemas clásicos

Con las cosas así, rápidamente se volvieron muy famosos tres problemas que se resistían a ser demostrados -en realidad se trata de construcciones- usando únicamente regla y compás: la trisección del ángulo, el doble del cubo, y la cuadratura del círculo. Seguramente has escuchado hablar de éste último que en lenguaje coloquial se usa como algo que carece sin sentido, probablemente porque no todos saben qué significa "cuadratura" o por qué se le busca al círculo. Este problema es tan particular con respecto a los otros dos que lo dejaremos para la siguiente semana. 

Veremos que los dos problemas que nos quedan surgen de maneras muy naturales. Por ejemplo, en la secundaria aprendemos a bisecar un ángulo usando nada más regla y compás, y duplicar el área del cuadrado tampoco es una tarea complicada,

Por lo que pensar en trisecar -partir en tres partes iguales- un ángulo no suena una tarea descabellada, lo mismo que construir un cubo que tenga el doble del volumen de un cubo dado. (Nota ortográfica: las rectas se bisecan, trisecan, intersecan y no bisectan, trisectan o intersectan. Viene de "secante".)

Tristemente, estos dos problemas resultaron literalmente imposibles. Bajo las condiciones pedidas (usar únicamente regla y compás), las construcciones solicitadas son matemáticamente irrealizables. No que no se hayan hecho avances impresionantes: en la trisección, se demostró que ángulos de medida 2π/N son trisecables si y solo si N no es múltiplo de 3; además, para N primo, la trisección es posible si N es un primo de Fermat. No solo eso, es posible realizar aproximaciones mucho muy buenísimas, usando bisecciones sucesivas: por ejemplo, sabemos que 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...

(Wolfram me lo dijo)

por lo que esa es una manera de acercarte bastante bien a la trisección, sin en realidad alcanzarla. Sin embargo, Pierre Wantzel, matemático francés, publicó un artículo demostrando que era imposible en 1837. Es decir: no, en serio no se puede hacer usando únicamente regla y compás. Sí se puede de otras maneras: con un hilo (haciendo "trampa"), con una regla graduada, como muestran los Gaussianos en esta entrada, con una curva auxiliar -llamada, convenientemente, la trisectriz-, con una mohicana y con origami. 

"Tú no me entiendes papá, es lo que yo quiero..."

El problema de duplicar el cubo está impregnado de mitología griega. Cuenta la leyenda que los habitantes de la isla de Delos, en Grecia, sufrían una terrible plaga enviada por Apolo. Fueron a visitar al oráculo de Delfos -como cualquiera haría- quien les dijo que debían "duplicar el altar de Apolo", que era un altar cúbico. El buen Platón les dijo que se trataba, precisamente del viejo problema de duplicar el volumen de un cubo. 

Para que quede claro, el problema no se trata de construir un cubo idéntico al que ya se tiene, arriba de éste. Tampoco se trata de construir un cubo cuyo lado mida el doble del cubo original, pues eso multiplicaría el volumen del cubo por 8. Lo que buscamos es, dado el lado de un cubo, construir el lado de otro cubo tal que el segundo cuba tenga el doble del volumen del primero. 

¿Quién demostró que esto no era posible? Claro, el mismo Pierre Wantzel, en el mismo artículo de 1837. Por si fuera poco, en su publicación demostró que los únicos polígonos regulares que se pueden construir usando únicamente regla y compás son aquellos que son el producto de potencias de 2 y cualesquiera Primos de Fermat distintos, que concluyó un teorema iniciado por el mismísimo Gauss. 

El origami y tú

El asunto es que los problemas antes descritos tienen un equivalente algebraico, y por allá se demuestra su imposibilidad. Por ejemplo, la duplicidad del cubo es sencillamente una ecuación de la forma 

y la trisección del ángulo una ecuación cúbica -pasando por un planteamiento trigonométrico y un par de cambios de variable-

que son imposibles de resolver cuando tus únicas armas son una regla sin graduar y un triste compás marca Ábaco.

Ahora, quizás no es la clase de cosas que te imaginas que hace el origami, pero se puede usar para demostrar ciertas ecuaciones cúbicas, como las dos que describimos anteriormente. Cuando pensamos en Origami, pensamos en papiroflexia, en grullas de papel, en cubos y otras figuras de origami modular, es todo un arte. 

También, aunque se enseña en muchos talleres de divulgación de matemáticas -en general se trata de origami modular por la geometría y simetría implícita, a veces cónicas con tangentes mediante doblado de papel- rara vez se muestra su potencial como herramienta para demostrar problemas. Para ponerlo en términos claros: tanto la trisección del ángulo como la duplicación del cubo son posibles usando origami. ¿Exactamente cómo es eso posible? Sencillo: construyendo toda una geometría alrededor de doblar papel, completa con sus propios axiomas. 

Los axiomas de Huitza-Hatori hacen justo eso, formalizando las matemáticas que es posible construir con el sagrado arte del origami. Aunque en principio equivalentes a los postulados euclideanos, Huitza- Hatori es un conjunto de 7 axiomas y no 5. Los axiomas son:

1. Dados dos puntos, es posible hacer un único doblez que pase por ellos.
2. Dados dos puntos, es posible hacer un único doblez que coloca uno sobre el otro.
3. Dadas dos rectas, es posible hacer un único doblez que coloca una sobre la otra.
4. Dada una recta y un punto fuera, es posible hacer un único doblez que pasa por el punto y es perpendicular a la recta.
5. Dada una recta y dos puntos fuera, es posible hacer un único doblez que coloca uno de ellos sobre la recta y pasa por el otro.
6. Dados dos rectas y dos puntos fuera -ordenados-, es posible hacer un único doblez que coloca un punto sobre una recta, el otro punto sobre la otra recta. 
7. Dadas dos rectas y un punto fuera, es posible hacer un único doblez que coloca el punto sobre una de las rectas y es perpendicular a la otra recta. 

Un primer paso para hacer matemáticas con papel son los Teoremas de Haga. El primer teorema dice más o menos lo siguiente: si doblas una esquina sobre el punto medio de un lado no-adyacente, cruzas sobre una de las trisecciones del otro lado no-adyacente. 

Con el doblez, se crean tres triángulos semejantes, que es la clave para demostrar el Teorema. Los teoremas de Haga -porque son varios, generalizándose- y en particular el axioma 7 son la clave para las construcciones que permiten duplicar el cubo y trisecar el ángulo. Antes de entrar en el paso a paso, ten en mente: sí vamos a literalmente trisecar el ángulo, pero vamos a dejar el otro problema hasta el paso más difícil. Esto es lo que tienes que hacer para trisecar el ángulo en ocho sencillos pasos, con un cuadrado de papel con vértices ABCD en el sentido opuesto a las manecillas del reloj: 

Los pasos que seguimos fueron: (1) Marca el ángulo PBC que quieres trisecar. (2) Haz un doblez horizontal en cualquier parte de la hoja, marcando EF. (3) Marca el doblez cuando BC coincide con EF, creando GH. (4) Dobla la esquina de B para que E caiga sobre BP y B caiga sobre GH. (5) Con la esquina todavía doblada, vuelve a doblar el papel sobre el doblez marcado que termina en G, que cruza AD en J. (6) Desdobla la esquina de B. (7) Continúa el doblez que termina en J hasta marcarlo en B; luego, dobla BC para que coincida con BJ. (8) Los dobleces BJ y BK dividen al ángulo PBC en tres ángulos iguales: magia. 

Ahora, duplicar el cubo con un cuadrado de papel se hace en muchos menos pasos:

Donde los pasos que seguimos fueron: (1) Haz una marca a la mitad sobre el lado DC, (2) Haz un doblez que conecte los puntos A con C, y otro que conecte B con E; marca el punto donde se cruzan estos dos dobleces. (3) Haz un doblez horizontal del lado AD para que toque la intersección de los dos dobleces previos; luego haz un doblez horizontal de BC sobre el mismo punto de intersección. (4) Dobla para que el punto C caiga sobre el lado AB y el punto I caiga sobre el doblez FG. (5) La razón AC/CB es la raíz cúbica de 2. Así, para terminar el problema debes tomar la medida del cubo original y multiplicarla por la razón encontrada; el resultado es la medida del cubo cuyo volumen es el doble del cubo original.

Tan fácil como una ranita. 

Para hacer en casa:

En serio, tienes que leer los Elementos de Euclides. Puedes encontrar muchas ediciones en línea, acá te pasamos una de Editorial Gredos muy detallada y con notas útiles (hasta subrayada está). Resolver los primeros problemas del libro I (empieza en la página 92 del archivo) es un entretenido ejercicio con alumnos desde secundaria y quizás hasta para primeros años de licenciatura; definitivamente un buen reto para olimpiquitos. Recuerda: usa únicamente los axiomas, los postulados, las definiciones y tu siempre confiable regla y compás. 

Algunas de las primeras proposiciones del Libro I son las siguientes; algunas de ellas efectivamente aprendemos a resolver en la secundaria:

1. Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.
2. Colocar una línea recta igual a otra recta dada con un extremo en un punto dado. 
3. (6) Si en un triángulo dos ángulos son iguales entre sí, los lados de subtienden los ángulos iguales también serán iguales entre sí (Pons asinorum). 
4. (9) Bisecar un ángulo rectilíneo dado.
5. (10) Bisecar una recta finita dada.
6. (12) Dada una recta indefinida, trazarle, desde un punto dado que no esté en la misma, una recta perpendicular. 

Para saber más:

Muchas de nuestras referencias -incluso las ligas que ponemos en el texto a sitios inofensivos como Wikipedia- están en inglés. Entendemos que eso puede dificultar la lectura de algunos, esperamos ir consiguiendo más material en español -o, mejor, convertirnos en la referencia en sí. 

Esta es una versión muy resumida de lo que estuvimos platicando aquí, con algunos spoilers de la entrada de la siguiente semana. 

Juan Pedro Rubio escribió sobre Los Teoremas de Haga y, después, Una generalización del Teorema de Haga en Divulgamat2, de la Real Sociedad Matemática Española. En el mismo portal tienen toda una sección dedicada a papiroflexia y matemáticas. 

The Power of Origami, de Liz Newton en Maths.org fue quien nos enseñó cómo hacer paso a paso las soluciones que presentamos para el origami. Los diagramas vienen de allá, aunque son autoría de Robert J. Lang. 

Los Tres Problemas Clásicos, de Santiago Fernández para HistoriayBiografías.com narra perfectamente el desarrollo de los problemas y detalla sus soluciones con imágenes bonitas y toda la cosa.