martes, 24 de abril de 2018

El que parte y reparte

¿Cuál es la mejor manera de cortar un pastel?


La respuesta a esta pregunta depende de qué entendamos por ella. Si le preguntas a tu tía, la mejor manera de cortar un pastel redondo es cortar un círculo en el centro, complicadísimo, para que las porciones sean más anchas y sea más sencillo recortarlas. 


Pase lo que pase, al cortar el pastel en una comida familiar, alguna tía te va a quitar el cuchillo porque no sabes cómo hacerlo y estás haciendo un tiradero, y tu tío hará la broma de cortar una rebanadita y quedarse con lo demás. 


Galton y los pasteles

Al parecer, hay muchísima ciencia al respecto, pues depende del tamaño del pastel -redondo, estamos hablando- y la cantidad de pedazos. Esta tabla práctica puede ayudarte: 


Esa será la mejor manera si te vas a comer el pastel completo. En caso de que vayas a guardar, la Ciencia (TM) dice otra cosa, pues partirlo de esta manera irremediablemente deja parte del interior expuesta. Esa parte se secará y el pastel quedará reducido a trozos incomibles tras unos días. Por eso, Francis Galton -el de la regresión a la media, primo de Darwin- propone cortar y comer del centro hacia afuera, para poder volver a "sellar" el pastel

Have your cake...

En español decimos que "El que parte y reparte se queda con la mejor parte". Esta es una máxima importantísima y nos dice cómo repartir un pastel de la manera más justa, definida como la manera que deja a ambas partes más satisfechas: uno parte y el otro reparte. Si la persona que corta queda insatisfecha es porque cortó mal; si la persona que reparte queda insatisfecha es porque eligió mal. 

¿Cómo podrían partir el pastel 3 personas? 

Primero, nos conviene dejar de ser tan ambiguos con lo que queremos. La literatura de Teoría de Juegos define varias maneras en que esto puede ser justo: 
  • Libre de envidias. Es en serio, es un término matemático. Una manera de definir una repartición justa es si ninguna de las personas cree que alguien tiene algo mejor. 
  • Justicia proporcional. Cada persona considera que tiene al menos 1/n del pastel. Esto puede no ser literalmente 1/n del pastel si el pastel tiene, por ejemplo, relleno cremosito o fresas y las distintas personas valoran distinto cada región. 
  • División exacta. Sin importar si hay distintos ingredientes, capas, toppings, frostings y etcéteras, sin importar si es un pastel complicadísimo de Buddy Valastro, existe una manera -a veces prácticamente imposible- de que cada quien reciba exactamente 1/n del pastel, ingrediente por ingrediente. Es una generalización del Teorema del Sándwich de Jamón. (Sí, en serio.)
  • Valor de Shapley. Y otras maneras más formales de dividir cosas en Teoría de Juegos. Alguna vez tocaremos el tema con más profundidad. 



Aunque no lo parezca, la repartición de pasteles es un tema sumamente importante y estudiado. Tiene su propia entrada de Wikipedia. El pionero de esta matemática de repostería es Hugo Steinhaus, hijo matemático de David Hilbert, quien introdujo el problema en 1948. Hugo también fue el primero en conjeturar el Teorema del Sándwich de Jamón, lo que nos lleva a pensar que tenía mucha hambre durante su investigación y labor académica. 

Esta es la manera en que lo haríamos para 3 personas, que llamaremos Alejandra, Baduel y Chus. 

Paso 1: Alejandra corta el pastel en 3 pedazos. 

Paso 2: Baduel y Chus eligen su rebanada favorita. 

Caso 1: Si Baduel y Chus eligen piezas distintas, todos están contentos. Alejandra no debería quedar insatisfecha pues ella cortó y pudo haberlo hecho distinto; Baduel y Chus tampoco porque ellos eligieron y pudieron haberlo hecho distinto también. 


Caso 2: Si Baduel y Chus eligen la misma pieza, estamos en problemas. Baduel toma su pieza favorita y le corta un cachito para convertirla igual de atractiva a su segunda pieza favorita. Quitamos ese cachito y eligen en este orden: 

Paso 2.1: Elige Chus. 
Paso 2.2: Elige Baduel. 
Paso 2.3: Elige Alejandra. 



Deben quedar satisfechos, pues Chus pudo elegir la que más le gustó; Baduel porque había dos piezas igualmente atractivas para él y seguro le quedaba una; Alejandra porque ella cortó originalmente de modo que las tres piezas le parecían iguales de todos modos. 

Paso 2.4: Con el cachito que separamos cambiamos el orden: parte Baduel -porque es su culpa estar en este lío. Luego elige Chus, elige Alejandra, elige Baduel. 



La razón para que Alejandra elija después de Chus es porque Alejandra había hecho los cortes iniciales. Si ella elige primero, todo podría haber sido una trampa suya. Por eso Chus elige primero -aunque ya había elegido primero en el turno anterior. Pero Baduel elige al final porque él cortó, ni modo. 

... and eat it too. 

Pero hay, al menos, una manera distinta de entender el problema que no hemos considerado. ¿En cuántas piezas podemos partir el pastel? Estamos hablando de n cortes rectos y este, por supuesto, también es un problema estudiado por matemáticos y pasteleros -o pizzeros- por todo el mundo. 

Con 0 cortes tenemos 1 pedazo (duh). 
Con 1 corte tenemos 2 pedazos. 
Con 2 cortes tenemos 4 pedazos. 
Con 3 cortes tenemos 7 pedazos. 
Con 4 cortes tenemos 11 pedazos. 

La secuencia A000124, donde cada término es uno más que el correspondiente número triangular. La relación se puede expresar de distintas maneras usando coeficientes binomiales o como una ecuación cuadrática -pero lo de los triangulares me gusta más. 

¿Puedes lograr estos recortes óptimos? La manera de hacerlo con 3 cortes es tan famosa que quizás la hayas visto rayada en alguna pared de tu escuela o ciudad. 


Fue un chiste. 






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