martes, 16 de enero de 2018

¿Cuántas veces se puede doblar el papel?

7 veces 7


Seguramente has escuchado alguna vez que una hoja de papel no puede doblarse más de 7 veces, número mágico. No sé si su educación secundaria fue más interactiva que la mía, pero yo recuerdo que hubo un día en clase de matemáticas se lo dedicamos a doblar papel: hojas de libreta, papel bond, periódicos, papel de rotafolios, incluso los papelitos del chicle. La maestra nos aseguraba que era completamente imposible doblar el papel más de 7 veces. 



No recuerdo si nos explicó que cada vez que doblábamos, el grosor se duplicaba (seguro sí lo hizo), ni recuerdo si hizo la cuenta para un papel en particular (creo que no). Lo que sí recuerdo es haber salido con la seguridad de que sin importar el tamaño ni el grosor, el papel no se podía doblar más de 8 veces, que era matemáticamente imposible. 

Bueno, mi maestra no era la única que estaba equivocada. 


No es origami


Hasta hace poco, el mundo repetía con seguridad que un papel, sin importar el tamaño ni el grosor, no podía doblarse más de 7 u 8 veces. Esto es ostensiblemente cierto en una hoja de papel y una hoja de periódico podía ayudar a convencernos. 

El razonamiento es algo así: cada vez que doblas el papel a la mitad, el grosor aumenta. Si el papel tuviera un grosor de 0.01mm, doblarlo siquiera 10 veces serían  10.24mm. Como una hoja de papel bond tiene un grosor entre 0.07 y 0.1, estamos hablando de doblar varios centímetros de papel que se va haciendo cada vez más chico y cada vez más redondo en las orillas. 

Esto se llama crecimiento exponencial. Como estamos doblando el papel por la mitad, el grosor se va duplicando mientras el tamaño se divide en dos. Después de dos dobleces, el grosor es el doble y el tamaño es la cuarta parte. Por eso romper una hoja de papel es trivial pero romper un directorio telefónico con las manos es una hazaña del hombre más fuerte del mundo: Mr. Satan.




Récord Mundial


Por supuesto, la gente suponía que un papel mucho muy grande podría seguirse doblando más veces, pero nadie sabía realmente qué tan grande y el número 7 parecía un buen límite superior. En el episodio Underwater Car (E03S05) de Mythbusters (2007), se propusieron romper el mito de las 7 veces con un papel del tamaño de un estadio de fútbol: 


...que lograron doblar 11 veces.

Y entonces llegó Britney Gallivan.

(Para ser justos, Britney llegó antes que los Mythbusters e incluso la mencionan en el programa. La pongo después porque lo suyo es más impresionante.)

En 2002, y siendo una estudiante de preparatoria, Britney no solo ya había logrado doblar un papel 11 veces a la mitad, además derivó una fórmula que le permitía encontrar un límite teórico basado en el tamaño y el grosor del papel.



(Britney dobló un rollo de papel de baño industrial, que no sé si te parece trampa. No es un pliego rectangular como estamos acostumbrados pero la dificultad es la misma.)

Su fórmula considera el caso en que el papel es doblado siempre en la misma dirección, que es más o menos equivalente al caso rectangular. El diagrama con el que trabaja se ve así:


Y su fórmula sería:


donde L es la longitud mínima de un papel de grosor t, para poder doblarlo n veces en la misma dirección. Britney logró 12 dobleces usando rollos de papel de baño especial que pegó para obtener una tira de 1.2km de longitud.

Sí, 1200 metros de papel de baño.


Eso habría sido todo si los alumnos de la preparatoria St. Mark de Southborough, Massachusetts, no se hubieran propuesto romper el récord. El 4 de diciembre del 2011, usando 53,000 pies de papel de baño, es decir, una tira de 16.15 kilómetros de longitud, y el llamado pasillo infinito en el MIT, los alumnos lograron doblar el papel 13 veces.




El producto final fue doblado 13 veces. Los 53,000 pies de papel de baño se apilaron en un montón de 5 pies de ancho y 2.5 pies de alto, para 8,192 capas de papel. 

El profesor James Tanton sigue dando clases en St. MarkBritney Gullivan estudió Ciencias Ambientales en la Universidad de California, Berkeley. No sabemos si la decisión de usar 1.2 kilómetros de papel de baño para romper un récord influyó de alguna manera su admisión. 




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