Sobre las propiedades mágicas del 360

Siempre suma 9

Hace algún tiempo me encontré con esta imagen en internet que publicó Art of Mathematics en su página de facebook. AoM, como me gusta decirle, publica imágenes bastante interesantes sobre todo de lo que se llama pruebas sin palabras, que son imágenes que intentan demostrar una relación matemática sin necesidad de escribir una sola línea -como con series infinitas. 

Y... bueno, sí parece mágico, ¿no? ¿Cómo es que siempre suma 9? Debe ser que el 360 guarde algunos de los secretos del universo. Después de todo, no puede ser casual la elección del número como la cantidad de grados si aparece en todos lados; es herencia de los babilonios que tenían una mucha mayor conexión con el universo y sabían muchas más cosas de las que nosotros entendemos ahora...

Múltiplos de 9

Fíjate que esto no es cierto para todos los números. Dos de los ángulos más famosos de secciones circulares (120º y 60º) no suman 9 ni haciendo malabares. De hecho, si en lugar de dividir entre 2 divides entre 3 al menos una vez, entonces ninguno de esos ángulos cumple (40º, 30º, 15º). 

¿A dónde se fue la magia del 360?

Lo que ocurre es bastante sencillo: el 360 es un múltiplo de 9. Además, el criterio que podemos verificar para saber si un número es divisible entre 9 es sumar sus dígitos: si el resultado de la suma es un múltiplo de 9, entonces el número es efectivamente número de 9; si no, pues no. 

Como empezamos con un múltiplo de 9 y lo dividimos varias veces por 2, el número nunca dejará de ser un múltiplo de 9. Claro, eventualmente deja de ser un entero, pero los dígitos no van a dejar de sumar un múltiplo de 9. Luego, el 360 es tan místico y mágico como el 900 o el 123456789, para el caso. 

¿Entonces por qué el 360? 

Bueno, como con el 60 del tiempo, lo más probable es que se haya elegido por la cantidad de divisores que tiene. Si tuviéramos 100 grados o 1000 grados como sería más o menos natural para todos nosotros sistemametriquenses, no existiría una medida entera para medidas tan útiles como tercera parte o sexta parte. 

Punto extra

Hay varias imágenes parecidas en Art of Mathematics. Por ejemplo: ¿será que el 37 sea realmente magico? Juzgue usted mismo. 

¿Es más divertido saber o no saber?