El doble del arroz es mucho arroz

Uno doble para mí

Hace un par de semanas escribimos de lo que ocurre cuando intentas doblar papel a la mitad. Cada doblez duplica las capas que tienes, de modo que duplica el grosor y eso lo hace muy, muy difícil de seguir doblando. Si tuvieras un papel de 0.00001 m de grosor (la milésima parte de un milímetro, un micrómetro), necesitarías doblarlo unas 48 veces para que te lleve a la Luna. 

Esta vez vamos a preguntarnos algo parecido. 

Si tuvieras un papel de 0.0001 m^2 de área (un centímetro cuadrado), necesitarías duplicarlo unas 44 veces para cubrir toda el área de la Tierra Plana, pero solo 42 para cubrir el área superficial de la Tierra Esférica, que es otro punto a favor de cualquiera que sea la que tú creas que es. 

Base y exponente

Este tipo de crecimiento se llama crecimiento exponencial. En este caso, cada nueva iteración duplica y vemos que rápidamente es demasiado grande para manejar. El crecimiento es mucho más acelerado si en lugar de duplicar, triplicamos, y es exageradamente más rápido cada vez que elegimos un número mayor. Por ahora, nos concentraremos con el doble. 

La leyenda del ajedrez es muy repetida cuando hablamos de esto, también usada para encontrar la fórmula para la suma de potencias. La historia dice más o menos así: 

El rey Sheram, en una antigua provincia de la India, estaba muy triste por haber perdido a su hijo. Personas de todo el reino lo visitaban para hacerle presentes con la intención de animarlo. Uno de ellos, Sissa, le presentó el ajedrez. El rey quedó maravillado y, pese a las negativas de Sissa, insistió en hacerle un regalo a cambio. ¡Pídeme lo que quieras!, decía el rey. 

Sissa se lo tomó muy en serio y le pidió un grano de arroz (o de trigo) por el primer cuadro del tablero. Dos granos de arroz por el segundo cuadro, cuatro granos de arroz por el tercero, ocho granos por el cuarto y así sucesivamente. 

Lo que sigue varía entre versiones. Algunos dicen que el rey le entregó un saco de arroz y le dijo algo así como Quédate con el cambio. Otros dicen que, para sorpresa del rey, los matemáticos de la corte pasaron días tratando de calcular exactamente cuántos granos de arroz tenían que entregarle.  

La sorpresa es entendible. A partir de los primeros números es difícil anticipar lo rápido que la sucesión va creciendo y podríamos confundirla con una más sencilla como

1+2+3+4+...+64 = 2080

Pero, haciendo cuentas, descubrimos que entre los primeros 11 cuadritos del tablero hay que poner 2047 granos, además de 2048 nada más en el doceavo cuadrito. Esto se va a descontrolar.

En el cuadrito 64 del tablero, nada más en ese, hay que colocar 9223372036854775808 granos. Si le ponemos comas y apóstrofes, el número es

9'223,372'036,854'775,808

que son más de 9 trillones de los normales (no de los trillones gringos), para un gran total de 18'446,744'073,709'551,615 granos de arroz en todo el tablero. Los estimados de internet dicen que hay entre 30mil, 37mil y 48mil granos en un kilo, por lo que serían al menos 

384,307'168,202

Unas 400mil millones de toneladas métricas de arroz. Si tomamos la producción anual del 2017 de 756 millones de toneladas según la FAO, serían, al menos 508 años de la misma producción (unos 813 años si tomamos 30mil granos por kilo). 

¿Cómo resolvió Sheram este problema entre manos? Fácil: mandó matar a Sissa. 

Más de lo que imaginas

Dirás lo que quieras de la monarquía pero estos reyes tienden a ser personas prácticas. Esa última parte de la historia es probablemente falsa (creo que nadie más la cuenta así). Sin embargo, no es la única leyenda del sureste asiático donde el crecimiento exponencial es protagonista. 

Las Torres de Hanoi son un juego inventado por un matemático francés, Édouard Lucas, en 1883. Consiste en mover n discos de distinto tamaño de un poste a otro, usando un poste auxiliar, con la condición de que solo se puede mover uno a la vez y nunca puede colocarse un disco mayor encima de uno menor, empezando con los discos en orden. 

Su respectiva leyenda dice más o menos así: 

Existe un templo en Kashi Vishwanath, en la India también, donde sacerdotes de Brahma mueven 64 discos de distinto tamaño entre tres postes. Cuando los monjes hayan terminado su tarea, el mundo llegará a su fin. 

Esta leyenda es un poco más breve, aunque más apocalíptica. En algunas versiones no son los sacerdotes brahmanes sino el propio Brahma con Shiva y Vishnu que le agrega algo de seriedad al asunto y crea un entretenido pasatiempo para los dioses. 

Afortunadamente ya vamos avanzados en los cálculos. Resulta que para mover n discos son necesarios 2^n - 1 movimientos. No creo que sea muy difícil convencerte: para mover 1 disco hace falta 1 movimiento; para mover n discos necesitas primero mover los n - 1 discos menores del poste A al poste B, mover el nuevo disco más grande del poste A al poste C, y mover de nuevo los n discos del poste B al poste C, encima del disco más grande.

Como tenemos 64 discos, serán necesarios tantos movimientos como granos de arroz se le deben a Sissa. Suponiendo un movimiento por segundo, estamos hablando de 584,942'417,355 años, por lo que podemos tomarlo con calma. 

Este crecimiento inesperado está detrás de algunos otros trucos como las tarjetas binarias o el algoritmo de búsqueda binaria. La gente no espera que puedas adivinar un número entre 1 y 64 haciendo nada más 6 preguntas. 

La gente se equivoca.