Haciendo todo más complicado
En San Luis iniciamos una Liga Municipal de Matemáticas en parte imitando el Torneo Interprepas que tienen en Monterrey. Tenemos más o menos el mismo formato porque básicamente se los copiamos; es difícil inventar una dinámica para convertir la Olimpiada de Matemáticas en algo entretenido y éste nos gustó.
Cada partido los equipos reciben 6 problemas y básicamente se turnan para retarse mutuamente. Tienen 8 (en San Luis 5) minutos para explicar el problema cuando aceptan el reto, pero también podrían regresarlo. El juez (o árbitro) califica en el momento (sospecho que en San Luis, o al menos yo, a veces les intento ayudar haciendo preguntas) y si no obtiene los 7 puntos (en Monterrey un alumno de secundaria puede recibir 8), entonces el equipo retador podría pasar a "robar" el complemento.
La diferencia de dificultad y el hecho de que los retos se alternan abren la posibilidad de tener una estrategia, aunque no siempre sale bien. (Hay varios equipos que creen que es buena estrategia regresar un reto cuando tienen suficientes personas.) Supongo que está basado en el fútbol americano y ya incluso incluimos un pañuelo rojo para que el capitán de cada equipo pueda pedir que las decisiones del árbitro se revisen.
Cada partido los equipos reciben 6 problemas y básicamente se turnan para retarse mutuamente. Tienen 8 (en San Luis 5) minutos para explicar el problema cuando aceptan el reto, pero también podrían regresarlo. El juez (o árbitro) califica en el momento (sospecho que en San Luis, o al menos yo, a veces les intento ayudar haciendo preguntas) y si no obtiene los 7 puntos (en Monterrey un alumno de secundaria puede recibir 8), entonces el equipo retador podría pasar a "robar" el complemento.
La diferencia de dificultad y el hecho de que los retos se alternan abren la posibilidad de tener una estrategia, aunque no siempre sale bien. (Hay varios equipos que creen que es buena estrategia regresar un reto cuando tienen suficientes personas.) Supongo que está basado en el fútbol americano y ya incluso incluimos un pañuelo rojo para que el capitán de cada equipo pueda pedir que las decisiones del árbitro se revisen.
En fin.
Acá en Monterrey ayudo a entrenar al equipo de Irracionales, una especie de selección municipal de García, NL, de estudiantes de secundaria (y primaria). Eso me da oportunidad de revisar los problemas del partido que les ponen por acá. Recientemente tuvieron estos:
Los problemas que ponemos en San Luis y Monterrey tienen ciertas diferencias que no podría describir bien; creo que los problemas fáciles de Monterrey son más de pensar y en San Luis son como de Teorema de Pitágoras o algún resultado sencillo.
Esta entrada gira alrededor del P5. Por si no lo alcanzas a leer, dice que:
a) Explica cómo cortar cualquier triángulo en 4 triángulos congruentes entre sí .
b) Explica cómo cortar cualquier triángulo en 16 triángulos congruentes entre sí.
c) Explica cómo cortar cualquier triángulo en 20 triángulos congruentes entre sí.
Para que los problemas tengan sentido, tenemos que entender a qué se refiere cortar. Quiere decir que vamos a partir el triángulo en triángulos congruentes entre sí que se traslapan únicamente en su frontera y que cubren todo el triángulo sin que falte ni sobre.
Es decir, por si lo estuvieras pensando, que no se vale hacer algo así:
No diríamos que el rectángulo de arriba es un ejemplo de cómo cortar un triángulo en 4 triángulos congruentes entre sí incluso si pudiéramos recortar 4 triángulos congruentes de la figura.
Este proceso se llama teselar y una respuesta es una teselación. Se trata de hacer figuras con mosaicos iguales. Por ejemplo: cuadrados, rectángulos, triángulos rectángulos, triángulos equiláteros y hexágonos regulares pueden teselar el plano. También se pueden hacer teselaciones con más de un tipo de figura; en este problema queremos usar de un solo tipo.
Y hace no mucho hubo un notición cuando se descubrió una manera de teselar el plano con pentágonos que no se conocía antes. Es decir, es un tema bien interesante, pues.
El segundo punto a revisar se refiere a qué significa "cualquier triángulo". No es difícil resolver las preguntas (a) y (b) mostrando cómo realizar el proceso para "cualquier triángulo"; sin embargo, según me platicaron los Irracionales, la pregunta (c) se resolvió tomando un triángulo en específico, entendiendo "cualquiera" como "alguno".
Esta es una distinción importante. Es muy complicado demostrar que no es posible teselar cualquier triángulo (entendido como "el que sea") en N triángulos congruentes; a lo mejor la teselación existe y simplemente no la conocemos o no la hemos descubierto.
Teselasiones cuadradas, bi-cuadradas y variaciones
Vamos a cambiar la pregunta del examen:
Para qué valores de N, entero positivo, existe un triángulo ABC que puede teselarse en N triángulos congruentes entre sí.Entendemos las tres preguntas del examen como los casos particulares de N = 4, 16 y 20.
Los casos N = 4, 16 caen en la categoría más "sencilla" de teselaciones y se construyen con líneas paralelas a los lados del triángulo.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2(m-1) = m^2
Esta es la única teselación que funciona independientemente de los ángulos o los lados del triángulo. Las otras dos familias de teselaciones corresponden a triángulos rectángulos o triángulos equiláteros.
Si N = a^2 + b^2, entonces podemos teselar un triángulo en N triángulos congruentes de la siguiente manera:
- Construimos un triángulo rectángulo con catetos a, b y suponemos a > b. (El caso a = b se resuelve mucho más sencillo, aparte.)
- Este triangulito es nuestro mosaico, con el que vamos a teselar; lo llamaremos T.
- Vamos a construir dos copias a escala de este triángulo:
- El primero está a escala m, con catetos de longitud mn, m^2.
- El segundo está a escala n, con catetos de longitud mn, n^2.
- Estos dos triángulos son ambos rectángulos y semejantes entre sí y al original; podemos pegarlos por el cateto mn para crear un triángulo más grande cuya hipotenusa mide n^2 + m^2.
El resto es sencillo: el triángulo a escala m puede teselarse en m^2 triangulitos T con rectas paralelas a los lados (divides los lados en m pedazos iguales). El triángulo a escala n puede teselarse en n^2 triangulitos T con rectas paralelas a los lados (divides los lados en n pedazos iguales).
Estas formas se llaman bicuadradas. (La estrategia que usamos para la construcción es también una manera de demostrar el Teorema de Pitágoras, por cierto.) El ejemplo más sencillo aquí es N = 5 pero también funciona para números un poco más complicados como N = 13.
Los triángulos equiláteros tienen algunas teselasiones muy particulares: se pueden teselar usando 2, 3, 6 triángulos de maneras muy particulares (la de 2 funciona para cualquier isósceles). Luego, mezclando lo anterior, existe un triángulo teselable para N = 2m^2, 3m^2, 6m^2.
Existen además un par de teselasiones no triviales y no derivadas de las anteriores, aunque no añaden valores a la lista de N's posibles. Tanto para los triángulos rectángulo 30-60-90 como para los equiláteros, hay una manera diferente de teselar los números N = 3m^2:
En un paper publicado en 2012, Michael Beeson demuestra que estas son todas (¡TODAS!) las teselasiones posibles con alguna de las siguientes condiciones:
- la teselación T es semejante al triángulo ABC
- la teselación T es un triángulo rectángulo
- el triángulo ABC es equilátero
La prueba completa ocupa 58 páginas en total. (Muy divertidas 58 páginas.)
Teselasiones tricuadradas
En el proceso de demostrar cuáles se pueden y cuáles no, Beeson encontró que sí era posible para 28 (que no es ninguna de las formas conocidas). De esta manera, encontró una nueva forma que no es en absoluto trivial.
Estas son un poco más complicadas de explicar. El equipo de Beeson pudo demostrar a mano que no era posible encontrar teselaciones para N = 7, 11, 19 y otros números. Su trabajo previo les había reducido la prueba a un par de casos computables a mano. Para N = 28 se apoyaron de una computadora. Dejaron el programa corriendo y... ¡sorpresa! Sí hay teselación.
De manera resumida, se necesita que N sea un cuadrado multiplicado por algunos primos, de la forma 8n+1 o 8n-1 (o 2). Si tenemos eso, necesitamos que la ecuación
Estas son un poco más complicadas de explicar. El equipo de Beeson pudo demostrar a mano que no era posible encontrar teselaciones para N = 7, 11, 19 y otros números. Su trabajo previo les había reducido la prueba a un par de casos computables a mano. Para N = 28 se apoyaron de una computadora. Dejaron el programa corriendo y... ¡sorpresa! Sí hay teselación.
De manera resumida, se necesita que N sea un cuadrado multiplicado por algunos primos, de la forma 8n+1 o 8n-1 (o 2). Si tenemos eso, necesitamos que la ecuación
N + M^2 = 2K^2
tenga soluciones en K para enteros N, M, con M^2 < N. Nuestro mosaico tendría lados M, K, K - M^2 / K. Si eso tiene solución, entonces tenemos que ver si el triángulo se puede construir (es posible calcular sus ángulos y partir de ahí).
Lo que sabemos
Beeson termina su serie de 5 papers (y más de 400 páginas) recapitulando lo que sabemos:- Existen teselaciones para N = m^2 y para N = 2m^2, 3m^2, 6m^2.
- Existen teselaciones para N = m^2 + n^2.
- Cuando N es un cuadrado por al menos dos primos de la forma 8k +1 o 8k -1, con soluciones para N + M^2 = 2K^2 y K divide a M^2.
- Cuando N es una combinación de las anteriores (por ejemplo N = 20 se puede porque es 4 veces una forma bi-cuadrada 1 + 5).
- Tal vez existen cuando el ángulo mide 120 grados y N > 96, pero no se conoce ninguna.
¡NADA MÁS!
En particular, sabemos que no existen triángulos ni teselaciones para N = 7, 11, 14, 17, 19, 23. De manera más general, sabemos que si N es cuadrilibre, es mayor a 6 y es divisible por algún primo congruente a 3 módulo 4 (distinto de 3), entonces no existe teselación.
Para aprender más
Durante prácticamente toda la entrada seguimos el trabajo de Michael Beeson que, a lo largo de 5 papers intentó contestar la pregunta que nos planteamos: ¿Para qué N enteros es posible encontrar un triángulo ABC y una teselación T tal que es posible teselar ABC en N triángulos congruentes T.
¡Cinco publicaciones! Son varios años de investigación que pueden leer por su cuenta siguiendo estos enlaces:
En el paper 1 revisa las teselasiones más obvias que revisamos aquí también. En los papers 3 y 5 descubre un par de teselasiones nuevas que abren paso para nuevos valores de N que antes no se sabía si eran posibles o no; el paper 2 y 4 están más centrados en demostrar que para ciertos valores de N no existe ni el triángulo ni la teselación. Esperamos que esta entrada sea un resumen decente pero el propio Beeson comparte las diapositivas de una presentación de 10 minutos al respecto.
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