¿Sabes sumar?

Es culpa del infinito

¿Alguna vez te has topado con este espeluznante resultado?

En algunos círculos matemáticos, se comparte como un chiste. Es un conocimiento extra que resulta gracioso por lo increíblemente improbable que parece: ¿Cómo puede la suma de infinitos enteros positivos dar como resultado algo negativo y fraccionario? Es ridículo. 

Pues...

Recapitulando

En una entrada anterior, sobre Aquiles y las infinitas tortugas, hablamos de lo complicado que puede ser una operación tan sencilla como la suma si se hace infinitas veces. Por supuesto, no es culpa de la suma, es culpa del infinito que es tan difícil de manejar. 

En aquella ocasión, aceptamos primero que podemos sumar infinitas cosas sin que el resultado sea demasiado grande. Por ejemplo, si sumamos la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así sucesivamente hasta el infinito, llegaríamos a 1. (Si no lo hacemos una cantidad infinita de veces, entonces siempre nos falta algo, por diminuto que sea.)

También aceptamos que hay cosas que no se pueden sumar. De éstas había de dos tipos: sumas como 1+2+3+4+... cuyo resultado es infinito; y sumas como 1-1+1-1+1-1... que oscilan sin detenerse. 

Bueno, no todos los matemáticos estaban satisfechos con eso. 

Regularizacionando

Por ejemplo, la serie de Grandi 1-1+1-1+1-1... no vale nada, pero si valiera algo, debería valer 1/2, que es el valor que le asigna la Suma de Cesáreo o la Suma de Abel, que son maneras de resolver nuestros problemas con las series divergentes. 

La serie 1+2+3+4+... no tiene valor en la suma de Cesáreo o la de Abel, pero hay maneras de encontrarle un valor. Antes de mostrar cómo, vamos a hacer algo parecido que, de manera inocente, se parece a lo que hacemos cuando demostramos la fórmula de la suma de Gauss para la misma suma. Mira lo que ocurre cuando sumamos las potencias de 2:

En general, esta es una manera de ver cómo no se puede tratar las sumas infinitas como si fueran cantidades finitas, so pena de obtener resultados ridículos. Repetimos: no está bien manipular el infinito como si fueran números comunes y corrientes.

Con eso en mente, vamos a hacer lo mismo con la suma de los naturales: 

Hasta aquí todo bien. Ahora vamos a recordar una cosa que aprendimos en el Kinder sobre la expansión en series de potencias:

De modo que, si juntamos las dos cosas que sabemos, tenemos

que es el resultado prometido. Este mismo resultado se encuentra si intentas evaluar la serie usando el sumatorio de Ramanujan y la regularización de la función Zeta de Riemann. Este fue uno de los resultados que incluyó el joven matemático hindú cuando mandó su carta a matemáticos británicos y el que más llamó la atención de Hardy. 

Así que ahora se saben el chiste.