Explícalo con manzanas

Manzana dulce, limón partido

Te voy a platicar dos problemas muy sencillos, con manzanas. (Las manzanas son una importante fuente de acido ascórbico, pero cuida el azúcar.)

Problema 1. Seis amigos tienen cinco manzanas idénticas. Quieren partir las manzanas de manera que a cada quién le toque exactamente la misma ración. ¿Cuál es la menor cantidad de cortes que se necesitan para repartirlas?

Nota: No se puede cortar dos manzanas simultáneamente. O sea, a lo mejor tú sí puedes, en el problema no se vale. 

Este problema, más o menos, apareció en la VI Olimpiada de Otoño que organiza CARMA, para la categoría Koala. (La diferencia es que la restricción era que ninguna manzana se dividió en más de tres pedazos.) Yo tenía mi solución muy bonita y lista pero me mandaron una tan sencilla y bonita que habría querido que se me ocurriera. 

La primera parte es más o menos clara: si tienes 5 manzanas y 6 personas, y quieres que a cada quien le toque lo mismo, entonces a cada quien le tocan cinco sextos, en numerito: 5/6. 

El problema original preguntaba si era posible, y la respuesta más popular fue que no. La explicación era más o menos la misma: para partir en sextos necesito hacer seis (o cinco) cortes. 

Esa es la respuesta esperada, es decir, la más "obvia". También es una respuesta incorrecta. Es decir: hacen bien la parte de descubrir que son 5/6, pero no se les ocurre cómo repartir y concluyen que es imposible. 

(Quiero hacer una pausa medio chistosa. Quienes creían que se necesitaban seis cortes -como yo creía que se necesitaban 3- era, más que nada, porque dibujamos las manzanas como círculos y estamos acostumbrados a repartir los círculos en secciones circulares, como rebanadas de pizza. Quienes dibujaron las manzanas como rectángulos siempre necesitaron un corte menos. La manera en que representamos las cosas importa muchísimo y a veces ni nos damos cuenta.)

Te voy a ir proponiendo maneras de hacerlo, hasta llegar a la que resuelve este problema aquí planteado.

Solución Obvia

Si lo que quieres es obtener sextos, lo normal sería dividir tus manzanas en sextos.

Según sea la manera en que elegiste cortar tus sextos, necesitarías 6 o 5 cortes por cada manzana, para un total de 30 o 25. Parecen bastantes cortes.

Solución Encimando

Puedes partir en sextos tus manzanas con muchos menos cortes, si aprovechas cortes para partir más de un pedazo a la vez (que no parece ir contra las reglas):

La manzana rectangular de la figura se dividió en sextos con solo tres cortes, ya sea que ciertos cortes atraviesen dos pedazos o tres pedazos. Como cada manzana necesitó 3 cortes, son 18 cortes en total, que es una buena reducción.

Solución oficial

Ya que sabemos que a cada quien le tocan 5/6, solo hay que ver cómo obtener esa fracción con pedazos más pequeños. La idea original era:

1/2 + 1/3 = 5/6

que me parece bastante bonito e ingenioso en este escenario. Tendrías que hacer cortes más o menos así, para obtener seis mitades y también seis tercios: 

Y a cada persona le tienes que dar una mitad y un tercio. En total hicimos 9 cortes (o 7 cortes, según sea el caso). 

Hago los cortes circulares como secciones desde el centro y los rectangulares como paralelas a los lados, pero es claro que no tiene por qué ser así (es decir, podrías cortar las manzanas circulares con cuerdas y no habría problema). Tiene que ver más con la representación común en nuestro imaginario colectivo. 

Solución de Vale

Este es, más o menos, el dibujo que entregó Valentina como solución al problema original: 

Si estamos asumiendo que podemos partir cada manzana justo por la mitad, no es más complicado suponer que podemos separarla en dos pedazos, de manera que sea exactamente 5/6 de un lado y 1/6 del otro. Luego, tienes cinco pedazos de 5/6, que puedes darle a cinco personas diferentes; a la sexta persona le das los cinco pedacitos de 1/6, que suman también 5/6. 

Además, está claro que como 1 > 5/6, no hay manera de resolver el problema sin cortar cada manzana, de modo que el número mínimo de cortes es 5, uno por cada manzana. Como este acomodo usa de hecho 5 cortes, es la solución óptima. 

Una de las cosas más bonitas de trabajar en Olimpiada es estar rodeado de tanta gente que puede sorprenderte todo el tiempo.