Cartas que nos dieron muchas matemáticas, parte 1

Matemática epistolar

Es común romantizar el pasado: nos parece que enviarnos una postal o una carta por correo ordinario tiene en apariencia más valor que el impersonal e inmediato correo electrónico. Actualmente tenemos la elección pero hace un par de siglos no era así. Hay muchas cosas en matemáticas -teorías, teoremas, relaciones y descubrimientos- que probablemente nunca hubieran sucedido sin una carta de por medio. 

Sin embargo, matemáticos y matemáticas a lo largo y ancho del mundo, en miles de universidades distintas hoy en día colaboran a distancia de manera instantánea a través de correo electrónico, foros y hasta Facebook y Twitter donde puedes interactuar como fan. De hecho, se estima que el 82% de todas las cosas que se dicen en CIMAT se dicen a través del correo electrónico institucional. No pocos publican sus artículos directamente en arXiv.org sin esperar ser publicados en revistas peer-reviewed, pues nuestra modernidad ciertamente lo permite. 

Aunque anécdotas hay muchísimas, vamos a platicar de 5 de ellas que nos gustan mucho.

1. La probabilidad surgió en cartas

Los matemáticos famosos se carteaban entre sí con cierta frecuencia. Hoy en día quizás nadie use el correo postal a cambio de medios más veloces; la inmediatez de la internet probablemente hace que los intercambios sean menos elaborados, pues la gente ya no duda en enviar un correo con "Ok". Hace un par de siglos, los grandes matemáticos acostumbraban cartearse con cierta frecuencia ya sea para compartir problemas que les intrigaban o las soluciones que proponían. Parte de esa correspondencia ha sobrevivido y algunos de esos intercambios son verdaderamente invaluables en tanto son de los primeros vestigios escritos de alguna teoría o resultado.

Ese es el caso del Cálculo de Probabilidades. Cuando se enseña en la escuela, normalmente las primeras probabilidades que te ponen a calcular sean las de juegos de azar: volados, dados, cartas. No es solo que estos sean ejemplos clásicos; es es también la manera en que estas preguntas surgieron históricamente.

Nuestra primera historia es la correspondencia entre dos enormes matemáticos: Blaise Pascal y Pierre de Fermat. Imagínate nada más. El problema se conoce como el problema de los puntos, o el problema de la partida interrumpida. Básicamente, imagina que dos jugadores apostaron al primero en ganar 5 volados; si el juego se interrumpe cuando van 3-1, ¿cómo deben repartirse el dinero?

El problema era conocido en la época. Ya antes lo habían intentado Pacioli, Tartaglia (que aparece más tarde en la entrada) y Cardano. (La solución de Pacioli era dividir proporcionalmente siguiendo el margador; Tartaglia hace algo similar corrigiendo los resultados contraintuitivos de seguir el procedimiento de Pacioli cuando van 1-0. Según algunas versiones, Cardano había llegado a una solución similar a la de Pascal casi un siglo antes, pero su manuscrito se perdió, concidentemente, por casi cien años.)

El problema fue propuesto a Pascal en 1654 por de Méré, quien la historia recuerda simplemente como jugador empedernido. Pascal y Fermat mantienen correspondencia que no solo les lleva a una solución sino que además les permite plantear los fundamentos del cálculo de probabilidades. Puedes leer parte de sus cartas -en inglés- siguiendo esta liga. En esta selección de cartas no solo puedes ver de cerca cómo surgen las ideas para el cálculo de probabilidad sino, además, su mutua admiración y respeto -incluso en desacuerdos.

Años más tarde, Christiaan Huygens -matemático, físico, astrónomo holandés y precursor de la cabellera glam metal- se enteraría de la solución de Fermat sin conocer su método. Así, decidió encontrar su propia prueba. Publicó sus resultados en 1656 en el que se considera el primer tratado en Probabilidad: De ratiociniis in ludo alae, literalmente, Cálculos en los juegos de azar.

2. Las variaciones, Lagrange y Euler

No es ningún secreto que en Entre Paralelas somos fans de Leonhard Euler. En esta oportunidad vamos a hablar un poco de la clase de persona que era, versión que por supuesto está atravesada por la admiración de historiadores y matemáticos que cuentan y recuentan lo que pasó. 

Los problemas de máximos y mínimos han existido en matemáticas desde siempre, pues son sumamente interesantes y -con frecuencia- tienen aplicaciones prácticas inmediatas. Uno de los problemas inaugurales es el de la braquistocrona, la curva de más rápido descenso. 

bra-quis-to-cro-na

El problema pregunta por la trayectoria por la cual una partícula con masa -asumiendo gravedad constante y fricción despreciable- llegaría lo más rápido de un punto A a un punto B fuera de la vertical que pasa por A. La anécdota que rodea la solución es extremadamente interesante e incluye a muchos de los matemáticos más brillantes de la época y de la historia. 

Johann Bernoulli publicó el problema en Acta Eruditorium en junio de 1696 como una especie de desafío amistoso que traería fama y gloria a quien pudiera resolverlo. Originalmente dio seis meses de plazo pero Leibniz lo persuadió de una extensión. Al final, se consiguieron cinco soluciones: Newton, Leibniz, de Lôpital, Jacob Bernoulli y la del propio Johann. Se dice que Newton resolvió el problema en medio día -de cuatro de la tarde a cuatro de la mañana- y que resentía que matemáticos extranjeros lo estuvieran molestando con problemas. (Además, la solución de de Lôpital no se publicó en el acta sino hasta 300 años después porque más o menos se perdió.)

Las soluciones de Jacob y Johann -hermanos- eran distintas e inició una discusión entre ellos a veces matemática, a veces no muy amistosa, sobre la posibilidad de generalizar sus ideas para problemas similares. Las ideas y los problemas fueron retomados por Euler en un muy buen intento de generalizarlas, usando el enfoque geométrico de Johann.

La ecuación a la que llegó Euler fue publicada por primera vez en 1736, la base de lo que hoy conocemos como cálculo de variaciones. Euler publicó su tratado al respecto en 1744, el Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Había discutido sus resultados previamente con Daniel Bernoulli, hijo de Johann, en varias cartas de 1743. 

En él, discutía una manera general de resolver problemas de máximos y mínimos pero no quedó muy satisfecho, pues dependía fuertemente de la geometría detrás, tomando N puntos para aproximar la curva y luego dejando que N tendiera a infinito. 

Varios años después, Euler recibió una carta fechada el 12 de agosto de 1755. El remitente era Joseph-Louis Lagrange, entonces de tan solo 19 años. En la carta, Lagrange le presentaba a Euler un método para derivar sus fórmulas usando métodos únicamente analíticos, es decir, sin depender de una aproximación geométrica, como Euler quería. 

Euler quedó tan asombrado que dejó de publicar al respecto y abandonó un artículo que estaba por publicar -que cubría algunas de las mismas ideas-, para que Lagrange tuviera tiempo de perfeccionar sus pruebas y publicarlas primero. Fue Lagrange quien introdujo el término variaciones, luego retomado por Euler, así como la notación y formulación. La publicación de Lagrange llegó en 1762 e inmediatamente lo colocó como uno de los más brillantes matemáticos de la época. 

3. Un juramento cúbico

En algunas escuelas de México le llamamos la chicharronera, que es probablemente el nombre más vulgar con el que se conoce a la ecuación general para ecuaciones de segundo grado en todo el mundo. Es una fórmula que nos ayuda a encontrar los valores de x que satisfacen cualquier ecuación del tipo ax^2 + bx + c = 0, es decir, una cuadrática. Es un resultado sencillo de obtener por el método de completar el cuadrado y se puede explicar en clase, aunque no todos lo entiendan. 

Bueno, una ecuación similar existe para ecuaciones de tercer y cuarto grado -pero no de quinto en adelante, que es otra historia interesante. La ecuación general para ecuaciones de tercer grado fue publicada por primera vez por Gerolamo Cardano en su Ars magna en 1545. 

El problema es que a Cardano le habían enviado la fórmula en una carta del 25 de marzo de 1539, después de muchísimo rogar, y bajo juramento de no publicarla. Se la había mandado Niccolo Fontana, conocido como Tartaglia. El resto de la historia es digno de un loop de película de viaje en el tiempo. 

Tartaglia no conocía una fórmula general para todas las cúbicas. La verdad es que él únicamente había llegado a una fórmula para la "cúbica deprimida", ecuaciones del tipo ax^3 + cx + d = 0, es decir, sin término cuadrático. Cardano y su discípulo-colega Ludovico Ferrari habían podido construir la ecuación general pero se apoyaba fuertemente de la fórmula de Tartaglia y el juramento les impedía publicarla -Ferrari incluso había encontrado una fórmula para las cuartas, que igualmente dependía de la fórmula de Tartaglia. 

En 1543, Cardano y Ferrari viajaron a Bologna y, visitando la Universidad, encontraron los trabajos de Scipione del Ferro, quien había encontrado la fórmula varios años antes que Tartaglia. Con este descubrimiento, Cardano y Ferrari se sintieron liberados del juramento y Cardano publicó su libro dos años después, con la fórmula cúbica y cuarta, dándole crédito a del Ferro en el prefacio al libro. 

Del Ferro nunca publicó su fórmula. Se la guardó un secreto hasta días antes de su muerte, cuando se la reveló a su estudiante, un tal Antonio Fior. Sintiéndose sumamente poderoso con este nuevo conocimiento, Fior decidió retar a un afamado académico de la época, quien aseguraba conocer una fórmula para resolver algunas ecuaciones cúbicas -presumiblemente ecuaciones sin término lineal. Tratando de mantener la ventaja, el reto que envió Fior consistía en 30 cúbicas deprimidas, que él sabía resolver; a cambio él recibió otros 30 problemas variados. 

Su rival batalló por días y semanas hasta que eventualmente llegó a la solución y, de paso, encontró una fórmula general para las cúbicas deprimidas, ganando el desafío. ¿Quién era su rival? Tartaglia, por supuesto. 

Para crédito de Tartaglia, comunicó su fórmula en forma de poema. (No es el único descubrimiento matemático que se le escapó a Tartaglia: en italia, el Triángulo de Pascal se conoce como Triángulo de Tartaglia, por haber trabajado con él; el triángulo ya era conocido en China, por ejemplo, y otros matemáticos contemporáneos a Tartaglia. Sin embargo, fue Pascal quien efectivamente demostró sus propiedades y fue bautizado de Pascal por De Moivre -sí, el de la fórmula de De Moivre.)

Decidimos partir la entrada en dos entradas, con la esperanza de quizás construir una serie con anécdotas similares. Ya tenemos entonces la Parte 2 de Matemática Epistolar.