miércoles, 10 de agosto de 2016

Tres misterios matemáticos

Fermat, Poincaré y Goldbach

Muchos matemáticos trabajan en sus obras maestras durante años. Algunos problemas han requerido el apoyo y trabajo en conjunto de gran parte de la comunidad matemática; algunos cuantos se han escapado durante siglos. Es verdad que cada día sabemos cosas nuevas sobre matemáticas, avanzando y descubriendo/inventando nuevos teoremas y resultados, a veces incluso nuevas disciplinas y teorías completas. Pero cada vez que la matemática se extiende, crece también lo que no sabemos. 

En esta entrada, te platicamos de tres casos legendarios de problemas que escaparon una solución durante siglos. El primero es el Último Teorema de Fermat y la solución, casi tres siglos después, de Andrew Wiles. El segundo es la Conjetura de Poincaré y la solución, casi cien años después, del misterioso Grigori Perelman. Por último, la Conjetura de Goldbach y la solución, en parte, de Harald Helfgott. 

Acto I 



1. Aunque algunos tenemos la costumbre casi obsesiva de no escribir en un libro o no doblar las esquinas, hay quienes gustan de subrayar, hacer anotaciones, comentarios y garabatos por los márgenes o entre las líneas. Así han nacido muchos importantes libros de texto en matemáticas: como notas de curso o como comentarios a libros clásicos. 

Pierre de Fermat –el Príncipe de las Matemáticas– gustaba de comentar sus libros. Uno de esos libros, Arithmetica de Diofanto –quizás el libro clásico sobre matemáticas más importante después de los Elementos de Euclides– fue fundamental para la investigación de Teoría de Números que realizó Fermat. Una de las ecuaciones diofantinas planteadas es el problema de encontrar un cuadrado como la suma de dos cuadrados, es decir:

x^2 + y^2 = z^2,

que es la relación pitagórica. Este problema es interesante más allá de su relación con el triángulo rectángulo, por sus soluciones en números enteros. Fermat añadió una cuarta variable, asegurando que no había soluciones en enteros positivos para la ecuación

x^n + y^n = z^n

si  es un entero mayor que 2. Esto ocurrió en 1637 y se conoce como Último Teorema de Fermat. Durante siglos, no llegaron más que soluciones parciales, casos particulares para algún valor de  o alguna condición especial. Euler hizo n = 3, Dirichlet y Lagrange el caso n = 5 y Fermat mismo ofreció una prueba para n = 4… lo que es sumamente extraño pues, para añadir sal a la herida, el comentario de Fermat dice: “He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.”   

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2. Se le puede acreditar a Euler los primeros trabajos de la rama de las matemáticas que hoy llamamos Topología, bautizada entonces como geometría in situ. En 1750, Euler publicó algunos teoremas con resultados de sus estudios con poliedros –sólidos tridimensionales– y encontró ciertos invariantes o características. Ya antes –después, en esta lectura– había resuelto el problema de Los 7 Puentes de Kónigsberg donde entendió que era posible hablar del espacio en términos no exactamente geométricos; no en el mismo sentido de la geometría de Euclides. 

Los topólogos, según el chiste clásico, son aquellos matemáticos que no distinguen una dona de su taza de café. Hablan de nudos, flujos, superficies, caminos y recorridos. Después de Euler llegan Klein y Möbius –el de la botella y el de la banda, respectivamente, Listing y Riemann, entre otros. Los fundamentos de la Topología actual los sentó Poincaré. En un trabajo publicado en 1904, Henri Poincaré discutía ciertas propiedades de curvas y superficies –variedades– en espacios de más de tres dimensiones –muy difíciles de imaginar sin duda–. En específico, que todo objeto matemático en el espacio de cuatro dimensiones, con un par de propiedades específicas –para los curiosos: compacta y simplemente conexa–, es equivalente bajo ciertas transformaciones topológicas –la palabra correcta es homeomorfa– a lo que sería una esfera en el espacio de cuatro dimensiones –llamada hiperesfera, 3-esfera, S^3. 



En el siglo siguiente se demostrarían los casos de n–variedades compactas y simplemente conexas, homeomorfas a su correspondiente S^n. Los casos n = 1, 2 son sencillos; el caso n = 5 cayó en 1961; de un golpe cayeron los casos para n > 6 en ese mismo año y al año siguiente para n = 6. Fue hasta 1986 que se resolvió el caso n = 4. Pero el original, el caso n = 3 planteado por Poincaré, se resistía.  

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3. Christian Goldbach coincidió con Leonhard Euler en la Academia de Ciencias de San Petesburgo. Curiosamente, Goldbach era prusiano, originario de Königsberg –hoy Kaliningrado, en Rusia– donde surgió el problema de Los 7 Puentes que Euler resolvió creando lo que hoy llamamos Teoría de Grafos. Se hicieron buenos amigos y mantuvieron estrecha correspondencia y colaboración, por ejemplo: el Teorema de Euler-Goldbach, que publicó Euler pero quien atribuyó la autoría a Goldbach. 

Una carta parece resaltar sobre las demás; fechada el 7 de junio de 1742, parece un intercambio normal entre grandes mentes: sucesos personales, trabajo académico, problemas y preguntas interesantes. En ella nació la Conjetura de Goldbach, aunque el enunciado como lo conocemos ahora lleva también la interpretación de Euler, en su carta respuesta del 30 de junio, donde de paso admite que no fue capaz de demostrarla. 

La Conjetura de Goldbach como la conocemos ahora, son en realidad dos. Dos enunciados muy sencillos cuya demostración no ha aparecido, casi tres siglos después: 
  • La Conjetura Débil de Goldbach: todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de a lo más tres números primos. 
  • La Conjetura (Fuerte) de Goldbach: todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. 
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Acto II


1. Andrew Wiles impartía una serie de conferencias en Cambridge, tituladas Formas Modulares, Curvas Elípticas y Representaciones de Galois. Después de la segunda conferencia, corría un rumor en el campus que algo más grande podría estar pasando. Durante las conferencias, Wiles trabajó en demostrar el caso general de la Conjetura de Taniyama, sobre la que había trabajado en absoluto secreto durante más de seis años –publicando otros textos como distracción y para no perder su empleo y financiamiento–; únicamente su esposa sabía de este trabajo. Muchos matemáticos cercanos a Wiles en el tema –incluído su asesor– estaban convencidos de que era imposible de demostrar. 

Al concluir la tercera conferencia, Wiles dio por demostrado el caso general de la Conjetura de Taniyama y señaló, como de paso, como un corolario, que el Último Teorema de Fermat –una de sus fijaciones desde la infancia– quedaba demostrado. 

A mediados de agosto siguiente, la comunidad matemática encontró una falla en la demostración. Le tomó a Wiles trabajando con uno de sus estudiantes, Richard Taylor, casi dos años completar la prueba. Para entonces, Wiles había cumplido más de 40 años y, por lo tanto, no fue posible entregarle una Medalla Fields; en su lugar recibió la primera y única placa de plata que ha entregado la Unión Matemática Internacional. 

En subsecuentes libros y entrevistas, Wiles ha descrito el proceso como caminar en una enorme sucesión de habitaciones oscuras donde pasaba seis meses en completa oscuridad, tropezando con los muebles sin poder ver nada hasta poco a poco aprender el lugar de las cosas y encontrar el interruptor de la luz. Entonces todo era clarísimo. Entonces era momento de avanzar a la siguiente habitación y pasar otros seis meses en oscuridad.

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2. Como muchos otros jóvenes en la extinta URSS, Grigori Perelman encontró su lugar en los talleres de matemáticas después de clase. Era una especie de refugio, lo que el deporte o las artes pueden ser para millones otros. Ahí conoció a Sergei Rukshin, un gran entrenador de Olimpiada de Matemáticas, quien llevó a Perelman hasta la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Rukshin dijo que cuando Perelman llegó no era el más brillante y que nunca fue el más participativo; asegura que fueron sus primeros fracasos los que hicieron que realmente se dedicara de lleno. Participó una única vez, en 1982, y fue uno de tres participantes con puntaje perfecto. Muchos otros grandes jóvenes matemáticos han pasado por la IMO: Terence Tao y Maryam Mirzakhani, por poner un ejemplo. Para Perelman, la Olimpiada era únicamente el trampolín para entrar a las mejores universidades y seguir estudiando matemáticas. 

Hizo sus estudios en la Universidad Estatal de Leningrado; estuvo un par de años en universidades de Estados Unidos en Nueva York y California. Su personalidad siempre fue retraída. Se le recuerda con una cabellera larga, uñas largas, esbelto. Todas sus decisiones parecen encaminadas a regresarlo siempre a casa, lejos del mundo académico y sus exigencias. Para 1996, Perelman estaba prácticamente aislado. No contestaba correos a colegas y nadie sabía en que estaba trabajando. Salvo una o dos comunicaciones esporádicas, nadie supo sobre él hasta el 2 de noviembre del 2002 cuando subió al sitio de internet arXiv un artículo y envió la liga a algunos matemáticos. El trabajo era una demostración de la Conjetura de la Geometrización y la Conjetura de Poincaré. 

Su primera reacción sorprendió a muchos, aceptando dar una serie de conferencias en Estados Unidos. Sin embargo, rechazó trabajos en universidades de prestigio asegurando que se había comprometido a enseñar prepa en San Petesburgo, que resultó ser una mentira. Dejó de dar entrevistas –ha dado un par en la última década– y le molesta que la prensa hable de él. Se refugió en el pequeño departamento en las afueras de San Petesburgo donde vive con su madre, la única persona con la que parece tener contacto todavía.  

Perelman afirmó haberse sentido decepcionado por la respuesta de algunos colegas y de cierto sector del mundo académico; aunque no dijo nada muy directo, hablaba insistentemente de las personas que no eran honestas. Rechazó todo y cualquier reconocimiento que le quisieran ofrecer: destacan la Medalla Fields –uno de los más prestigiosos a los que aspira un matemático– y el premio de un millón de dólares del Instituto Clay por haber resuelto uno de los Problemas del Milenio. Aunque la rechazó, la Medalla Fields se le reconoce; el cheque está esperando a que un día pase por él.  
Para Perelman, el verdadero premio era resolver el problema.

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3. El peruano Harald Andrés Helfgott asegura haber demostrado la conjetura débil de Goldbach. Encontró una demostración para todos los impares mayores de , es decir, de más de 31 dígitos, y simplemente creó un programa de computadora para verificar los demás números. Trabajó en ello por más de seis años. En algunas entrevistas para medios de su natal Perú, Harald afirma que si acaso existen los genios hay solo uno o dos por generación –y él no es uno de ellos. 

En la carrera por demostrar este problema, Helfgott tuvo mucha ayuda de otros matemáticos que intentaron estrategias similares pero cotas superiores mucho menos afortunadas: Iván Matvéyevich Vinográdov, Wang y Cheng e incluso Terence Tao. Algunos otros se apoyaron, y con cierta frecuencia, en la Hipóstesis de Riemann, otro problema abierto en matemáticas. 

Hasta el momento de escribir este artículo, más de 270 años después de formulada, no existe una demostración aceptada para la Conjetura de Goldbach, la fuerte. Tampoco, por cierto, para la Hipótesis de Riemann. Ni para la conjetura de los primos gemelos. No sabemos todavía si hay infinitos números perfectos o si pueden ser impares. Tampoco si hay infinitos primos de Mersenne. 

Notas



[1] Esta no es la única anécdota similar que tiene Fermat. El que conocemos como Pequeño Teorema de Fermat tampoco fue demostrado por él; en una carta dirigida a Frénicle de Bessy, Fermat dijo que “te mandaría la prueba, pero temo que sea demasiado larga”. La primera prueba que se conoce es de Leonhard Euler. 

[2] De acuerdo al artículo de César Guevara Bravo y Juan Ojeda Uresti, el primero en enunciar la Conjetura de Goldbach fue, de hecho, Leonhard Euler. Además, Descartes ya se había planteado el problema años antes. El artículo termina con una cita de Erdös: “En realidad Descartes descubrió esto antes que Goldbach, pero es mejor que la conjetura haya recibido el nombre de Goldbach, porque, matemáticamente hablando, Descartes era infinitamente rico y Goldbach muy pobre”.

Para saber más

Las siguientes lecturas pueden ayudarte a ampliar los conocimientos de estos tres temas, ya sea desde la perspectiva histórica o desde la propia matemática.

(1) En esta liga puedes encontrar el artículo de César Guevara y Juan Ojeda sobre la historia de la Conjetura de Goldbach: los enunciados y planteamientos originales, sus transformaciones en la historia y otros planteamientos previos o posteriores.

(2) Perelman no solo demostró la Conjetura de Poincaré, también la Conjetura de Geometrización de Thurston. Puedes aprender un poco sobre ella acá en esta liga.

(3) Gaussianos tienen dos entradas muy interesantes sobre estos temas. Primero, en esta liga puedes ver lo que escribieron sobre la Conjetura de Poincaré, en un lenguaje un poco más accesible. Pero también tienen una casi entrevista con Harald Andrés Helfgott luego de que demostrara la Conjetura débil de Goldbach, que puedes leer acá.

(4) Cuando Perelman publicó sus artículos en el sitio de internet arXiv, un equipo de chinos siguió de cerca y publicó artículos que supuestamente completaban la demostración de Perelman. Al ruso no le agradó para nada la polémica y algunas personas en la comunidad matemática consideraron esto como poco ético y casi plagio; los chinos, por su parte, aseguraban que Perelman había delineado la solución pero no la había escrito explícitamente. Si te interesa leer el documento de los dos matemáticos chinos, lo puedes leer directamente en arXiv.

(5) Ya que estamos en eso, si te interesa leer los trabajos originales de Grisha Perelman, puedes hacerlo también desde arXiv, donde han estado alojados desde el 2002. El primero (noviembre del 2002) habla del proceso de Ricci y sus aplicaciones en geometría; el segundo (marzo del 2003) habla del proceso de Ricci en 3-variedades.

(6) Volviendo un poco a la historia de Perelman -que se supone era el punto central aquí- puedes consultar algunas versiones más bien noticiosas y de prensa. Tenemos un reportaje del diario El País sobre Perelman y otro reportaje que originalmente apareció en Nexos.



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