Los países que vivimos en medio de los trópicos vivimos en una campaña permanente para combatir el dengue, que consiste en vaciar y voltear todo recipiente donde pueda estancarse agua de lluvia, de esta manera evitando que el mosquito aedes aegypti, el responsable de transmitir no solo el dengue, sino también la malaria, la fiebre amarilla y las muy sonadas chikungunya y zika.
¿Cómo combatimos estas enfermedades para que no se conviertan en epidemias? En general, tratamos de pelear contra la plaga de mosquitos que son los portadores. ¿Por qué funciona eso? ¿De dónde sabemos que es culpa del mosquito? Bueno, lo que te podemos decir es que hay muchas matemáticas involucradas.
Aunque es probablemente cierto que le debamos la no-aniquilación del planeta entero a los mosquitos, es imposible no pensar que quizás la vida sea un poquito mejor sin ellos.
Un poco de historia
La Matemática ha servido y sirve todavía para ayudarnos a entender la realidad, el mundo en el que vivimos. Una de las maneras en que lo hace es con la construcción de modelos que nos ayudan a describir la realidad, que son falseables en su capacidad de describirla con mayor o menor certeza y en su capacidad para hacer predicciones. Esta es una bonita historia que probablemente le deba el origen a la astronomía, prediciendo eclipses por ejemplo.
La capacidad de ponerlo explícitamente en ecuaciones probablemente empezó -o agarró especial fuerza- con la Ley de Gravitación de Isaac Newton. Desde entonces, las Matemáticas han sido usadas en toda clase de modelos físicos, químicos y biológicos. Piensa en los modelos atómicos de Bohr o de Dalton, en la relatividad de Einstein, pero también en la ecuación de onda o la ecuación de calor.
La historia en particular que queremos contar tiene dos orígenes distinto. Primero, con los modelos de presa-depredador que publicaron independientemente aunque de manera casi simultánea el matemático estadounidense Alfred J. Lotka en 1926 y el matemático italiano Vito Volterra en 1925.
Quizás tendríamos que ir un poco más atrás y empezar con los modelos poblacionales. ¿Alguna vez te has preguntado cómo cambia la población conforme al tiempo? Bueno, en el modelo más simple, podemos "meter" todos los factores que afectan el tamaño de la población en la tasa de natalidad y la de mortalidad. Así, para una población N(t) -expresada como función del tiempo-, tendríamos
 |
| además, guapísimos matemáticos |
dN/dt = nN - mN = aN
es decir, la tasa de cambio es proporcional al tamaño de la población. Este es el tipo más sencillo de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y algunas de estas ideas fueron discutidas primero por Thomas Malthuis y su muy pesimista catástrofe malthusiana. Las funciones que cumplen que su derivada es proporcional a sí misma son las funciones exponenciales. Fíjate que nada de esto sería posible sin el trabajo de Newton y Leibniz en el Cálculo -duh- que introdujo en matemáticas el concepto de tasa de cambio instantánea, pero también pasaron varios años hasta que tuvimos definiciones, notación y fundamentos formales para hablar de funciones, continuidad, etcétera.
La parte de la historia que corresponde a Volterra es la más contada y pues es la única que nos sabemos, pero Lotka aparece en la otra mitad también. Umberto D'Ancona, un famoso biólogo italiano, observó cómo variaba el porcentaje de tiburones que atrapaban los pescadores en la época de guerra. Por ejemplo, en Fiume, Italia, los porcentajes entre 1914 y 1923 son los siguientes:
 |
| (Imagen tomada de "EDO y sus aplicaciones" de Braun.) |
En los años de guerra, cuando disminuye la pesca, hay muchos más selacios que peces comestibles. Al principio, D'Ancona supuso que si había menos pesca, había más peces y, con más alimento disponible, habría más depredadores como tiburones. Eso no explica, sin embargo, por qué la falta de pesca beneficia más al depredador que a la presa.
Así pues, le llevó el problema a su cuate Vito Volterra, matemático muy famoso entonces. Volterra planteó el problema como dos ecuaciones diferenciales, una x(t) para la presa -que en este caso son los peces pero en general la gente habla de conejitos- y otra y(t) para el depredador -que en este caso son tiburones pero en el ejemplo general son lobos-. Suponiendo que hay recursos disponibles y que la población no compite entre sí por ellos, los pecesitos crecen a una tasa constante a, mientras que los tiburones decrecen a una constante c.
El fin de los tiempos llega con la pesca o cualquier factor externo. Estudiando más a fondo estas ecuaciones, es posible considerar el efecto de la pesca y lo que resulta es que una pesca moderada resulta en más peces y menos tiburones, pero un ritmo bajo de pesca resulta en menos peces y más selacios.
Es posible construir un modelo más general -y realista- en el que se considera la competencia entre especies por los recursos. Las ecuaciones quedarían así, donde los términos cuadrados corresponden a las interacciones entre especies, que merman a la población:
 |
| recuerda que Buscando a Dory se estrena en junio 2016 |
Tanto a como c son resultado de natalidad - mortalidad. Lo que pasa es que los depredadores por sí solitos desaparecerían porque para crecer necesitan contacto con los conejitos. Ese es el término +dxy, que proporcional al número de encuentros presa-depredador que terminan en un depredador satisfecho; análogamente, el término -bxy es una cantidad proporcional a los encuentros presa-depredador que terminan mermando la población de peces.
Nos vamos a saltar la mejor parte, pero estudiando estas ecuaciones, determinan curvas cerradas sobre las que la población debería moverse de manera más o menos cíclica. Piensa que si aumenta la población de peces, los tiburones tendrán más comida, se reproducirán más y aumentará su población; si hay más tiburones comiendo peces, eventualmente habrá menos peces; con menos peces para comer, poco a poco disminuirá la población de tiburones porque hay menos recursos disponibles; habiendo menos depredadores, los peces pueden reproducirse felizmente y pronto aumenta su población, y así hasta el fin de los tiempos.
Es posible construir un modelo más general -y realista- en el que se considera la competencia entre especies por los recursos. Las ecuaciones quedarían así, donde los términos cuadrados corresponden a las interacciones entre especies, que merman a la población:
Combatiendo la malaria
La segunda parte de nuestra historia empieza con Ronald Ross -entre otros médicos y científicos que trabajaban para combatir el paludismo a finales del siglo XIX y principios del siglo XX- y George Macdonald, a mediados del siglo XX. Me imagino que suena muy extraño que la segunda parte de nuestra historia haya sucedido antes que la primera, pero danos chance. De hecho, Lotka estaba ahí también, aunque en otra parte del mundo.
Sucede que Ronald Ross fue quien demostró que la malaria -y otras enfermedades- se transmiten vía mosquito -y eso le valió un Premio Nobel de Medicina en 1902. Identificó el ciclo de vida de los parásitos de malaria en el mosquito. La cosa es que, una vez que sabes que es culpa del maldito mosquito, puedes controlar la enfermedad si controlas el mosquito.
Además, trabajó en los modelos matemáticos que explican el contagio-propagación de la enfermedad. En general, hablamos de un vector como un agente infeccioso; en general es un organismo como el mosquito, pero no es la única manera. Ross usó sus propios modelos experimentalmente para combatir los mosquitos principalmente en su estado larva; hoy en día, además, combatimos mosquitos adultos esperando que no vivan lo suficiente para volverse infecciosos. Ronald Ross publicó sus artículos a principios de siglo XX y muchos otros matemáticos y biólogos intervinieron, incluyendo a Alfred Lotka, quien mejoró y encontró soluciones para las ecuaciones de Ross.
Tenemos dos poblaciones: humanos y mosquitos. Suponemos que las poblaciones son estables -es decir, que la diferencia entre nacimientos y muertes es insignificante- y cada población se divide en dos grupos: Susceptibles e Infecciosos. Un humano es Susceptible hasta que un mosquito Infeccioso le pica y, si se cura de la enfermedad, vuelve al grupo de Susceptibles; un mosquito es Susceptible hasta que pica a un humano Infeccioso. El modelo ignora los tiempos de incubación del virus -hay modelos con retraso más complejos.
Las ecuaciones quedan así:
donde H son los humanos totales y Y los humanos infectados, V los mosquitos totales y I los mosquitos infectados. Además, a es la tasa de piquetes de mosquito, b la probabilidad de contagio mosquito-humano, c la probabilidad de contagio humano-mosquito, y xi y delta las tasas de recuperación de humanos / muertes de mosquitos.
Al igual que el modelo presa-depredador, las funciones son curvas cerradas dependiendo de los valores de inicio de las poblaciones. De esta manera, si podemos encontrar la solución al sistema, podemos ver qué sucede si cambiamos esos valores y cómo podemos saltar de una curva a otra para tratar de controlar el contagio-infección.
Una de las bondades del modelo Ross-Macdonald es el número reproductivo básico. Este número se calcula como
donde m es la cantidad de mosquitos por humano, y DH, DM son los recíprocos de xi, delta como en las ecuaciones anteriores, es decir, la vida media de la infección. Se puede entender como la cantidad de mosquitos contagiados por humanos por la cantidad de humanos contagiados por mosquitos. Mucho de la clave de la infección se centra en este valor R0: si R0>1, la infección puede extenderse o prolongarse, incluso a nivel epidémico. Para disminuir R0, hay que jugar con los factores: reducir la cantidad de mosquitos (m), reducir la taza de piquetes (a), reducir la vida de los mosquitos (DM) ya sea atacando la población, usando insecticidas, etcétera, o reducir el tiempo de enfermedad en humanos (DH) con medicinas, vacunas, etcétera.
Así, la verdad es que no es necesario vacunarnos todos, basta con que suficientes estén vacunados.
Enfermedades sin mosquitos
Para ser justos, no todas las enfermedades se transmiten vía mosquito -o vía rata o vía paloma-. Para una enfermedad infecciosa -piensa en la influenza que nos golpea terrible cada año por estas fechas-. Pensamos en una enfermedad que ataca a un individuo -o un grupo pequeño- en medio de una población más grande y queremos saber cómo se irá propagando.
Los modelos estándar en epidemiología se llama Modelo SIR, pues dividen la población N en tres grupos (en inglés, estos grupos son Susceptible, Infected, Recovered). Como hasta ahora, tenemos que el tamaño de cada grupo en el tiempo t se expresa con la función S(t), I(t), R(t). Una persona sale de S solo si se contagia, que ocurre proporcionalmente a los encuentros S-I con la tasa de infección; la gente entra a I si se contagia o sale de I si se recupera. Las ecuaciones son:
donde r es la tasa de infección y y (es más bien gamma, pero no tengo eso en el teclado) es la tasa de recuperación. El umbral µ = r/y. Así más o menos explicadito, tenemos la tasa de infección por el periodo medio de recuperación. Nos estamos saltando todo el análisis de las soluciones y las curvas, porque no hay tanto espacio aquí.
Únicamente cuando el número de Susceptibles rebase el umbral es que puede presentarse una epidemia. En general, si el grupo inicial de Infecciosos (I0) es pequeño y los Susceptibles iniciales (S0) menos el umbral es pequeño comparado con el umbral µ, los individuos que contraerán la enfermedad son aproximadamente 2(S0 - µ). Este es el Teorema del Umbral en Epidemiología, demostrado en 1927 por Kermack y McKendrick, biólogos matemáticos. Puedes estudiar otros modelos compartamentales en [8].
Modelos más complejos toman en cuenta más y más elementos del ambiente, o tienen un acercamiento distinto a la probabilidad o la tasa de contagio.
Para hacer en casa:
No se nos ocurrió mucho que podamos trabajar sobre las matemáticas vistas aquí, pero sí que puedes trabajar para cuidarte a ti y a los cercanos a ti. Las campañas para combatir la reproducción de mosquitos son muy sencillas: solo vacía o tapa envases donde se acumule y estanque agua.
Tristemente, esta temporada de enfermedades transmitidas por mosquitos se juntó con la temporada de influenza con sus múltiples variedades, así que es muy importante cuidarse y cuidarnos.
Para saber más:
Te recomendamos la lectura de Cazadores de Microbios, de Paul de Kruif. Es una bonita historia de esos grandes científicos -algunos de ellos matemáticos- que han contribuido a erradicar y combatir grandes enfermedades.
Ahora sí tuvimos que leer bastante para poder trabajar esta entrada porque no pusimos mucha atención en clase de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Empezamos con los capítulos 4.10, 4.11, 4.12 y 4.13 del libro de Braun, donde estudia modelos presa-depredador, epidemiológicos y de exclusión competitiva. El resto de nuestras referencias las puedes leer acá, algunas de ellas muy por encima de las necesidades de nuestro breve artículo:
- An epidemic model of a vector-borne disease with direct transmission and time delay
- Mathematical models for vector-borne diseases: effects of periodic environmental variations
- Modeling Transmission Dynamics and Control of Vector-Borne Neglected Tropical Diseases
- The Population Dynamics of Vector-borne Diseases
- Ross, Macdonald, and a Theory for the Dynamics and Control of Mosquito-Transmitted Pathogens
- Mosquito-Borne Diseases: Modeling and Control
- MacDonald Ross Disease Model
- Introduction to Mathematical Epidemiology: Deterministic Compartmental Models
- Introduction to Mathematical Epidemiology: Further Examples
No hay comentarios.:
Publicar un comentario